Question

已知二次函数f(x)=ax平方+bx+c若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），

方程f（x）= 1 2 [f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）

Answer 1

当x2＜-b/(2a)或x1＞-b/(2a)时：
可知f(x)在(x1,x2)内是单调的。不妨设f(x1)＜f(x2)，则必有f(x1)＜1/2[f(x1)+f(x2)]＜f(x2)，因此必然存在实数m∈(x1,x2)满足f(m)=1/2[f(x1)+f(x2)]。同理当f(x1)＞f(x2)时也成立。
当x1＜-b/(2a)且x2＞-b/(2a)时：
若-b/(2a)-x1＜x2+b/(2a)，可设x1′=-b/a-x1，则有f(x1′)=f(x1)，且f(x)在(x1′,x2)是单调的，以后证法同上。同理当-b/(2a)-x1＞x2+b/(2a)时也成立