Question

关于线性映射的问题

线性映射要保持齐次性和可加性，那么如何知道所有的线性映射都可以表示为矩阵乘法的形式？
此外，可逆映射必定是一一映射对吗？那么说一一映射必定可逆对吗，为什么？

Answer 1

第一，要表示一个向量就要先在线性空间中取一组基a1,a2,,,an，现在给定一个线性变换，它把这组基变换为b1,b2,,,bn，即bi=k1ia1+k2ia2+.,,+knian，因此这n^2个数kij就可以排成一个n阶矩阵，所以每给一个线性变换就对应这一个矩阵（在事先取好基底后），现在考虑线性变换的运算，由已知的线性变换经过运算（加法，数乘，复合）得到的新的线性变换，根据定理“线性变换的加法，数乘，复合分别对应于线性变换矩阵的加法，数乘和乘法”（这个定理书上有证明），可知由给定的线性变换经过运算得到的新线性变换也可以表示为矩阵之间的运算，所以所有的线性变换都可以表示为矩阵运算的形式（不一定是矩阵乘法）。
第二，你说的一一映射是指既是满射又是单射那种吗（不同书对一一映射的定义不同），如果是的话，一一映射一定可逆，但可逆映射不一定是一一映射，因为可逆映射只要求原映射是单射，而不必是满射，例如对于集合A={1,2}，B={1,2,3}，f(x)=x是A到B的单射（但不是满射），这个映射是可逆的，因为只要规定B中的元素3在逆映射下的像是1或2即可。