Question

求问一道高中数学题，要详细过程，谢谢了！

已知数列{an}中，a1=3,a(n+1)=2an-1(n∈N*)。（1）求证：数列{an}是等比数列。（2）设bn=(2^n)/(an*a(n-1))，求证：数列{bn}的前n项和Sn＜1/3

Answer 1

你题目抄错了，是求证数列{an-1}是等比数列。数列{bn}的前n项和Sn>1/3
解：
1、因为 a(n+1)=2an-1
所以a(n+1)-1=2an-2=2(an-1)
所以数列{an-1}是以a1-1=3-1=2为首项为2，2 为公比的等比数列
所以an-1=2*2^(n-1)
即an=2^n+1
2、bn=(2^n)/(an*a(n-1))=2^n/[(2^n+1)(2^(n-1)+1)]=2[1/(2^(n-1)+1)-1/(2^n+1)]
于是Sn=b1+b2+b3+......+bn=2(1/2-1/(2+1)+1/(2+1)-1/(2²+1)+1/(2²+1)-1/(2³+1)+.....+1/((2^(n-1)+1)-1/(2^n+1))
=2(1/2-1/(2^n+1))=(2^n-1)/(2^n+1)>1/3