Question

若函数f(x)=(x2-4)(x2+ax+b)的图像关于x=1对称，则方程f(x)=m有四个不同的实

若函数f(x)=(x2-4)(x2+ax+b)的图像关于x=1对称，则方程f(x)=m有四个不同的实数解时，实数m的取值范围是？

Answer 1

函数图像关于直线 x=1 对称，说明将图像向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，即是偶函数，

向左平移 1 个单位后为 g(x)=[(x+1)^2-4][(x+1)^2+a(x+1)+b]

                                          =x^4+(a+4)x^3+(b+3a+2)x^2+(2b-a-4)x-3b-3a-3，

所以 a+4=0 ，2b-a-4=0 ，

解得 a= -4 ，b=0 ，

所以 f(x)=(x^2-4)(x^2-4x) ，

令 f '(x)=4x^3-12x^2-8x+16=0 得 x1=1-√5，x2=1，x3=1+√5 ，

所以函数的极小值为 f(x1)=f(x3)= -16 ，极大值为 f(x2)=9 ，

所以 m 的取值范围是 （-16，9）。