如图,在等腰直角三角形中,AB=AC,点D是斜边BC的中点,点E,F分别为AB,AC边上的点,且DE⊥DF.

(1)求证:BE²+CF²=EF²;(2)若BE=12,CF=5,试求△DEF的面积.... (1)求证:BE²+CF²=EF²;
(2)若BE=12,CF=5,试求△DEF的面积.
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天堂蜘蛛111
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(1)证明:延长ED,使DG=ED,连接CG, FG
因为D是BC的中点
所以CD=BD
因为角CDG=角BDE(对顶角相等)
所以三角形CDG和三角形BDE全等(SAS)
所以CG=BE
角ABC=角DCG
所以AB平行CG
所以角BAC+角FCG=180度
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以角BAC=90度
所以角FCG=90度
所以三角形FCG是直角三角形
所以由勾股定理得:
FG^2=CF^2+CG^2
所以FG^2=BE^2+CF^2
因为DE垂直DF
所以角EDF=90度
因为角EDF+角GDF=180度
所以角GDF=90度
所以角EDF=角GDF=90度
因为DG=ED
DF=DF
所以三角形EDF和三角形GDF全等(SAS)
所以EF=FG
所以BE^2+CF^2=EF^2
(2)解:连接AD
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以角B=45度
角BAC=90度
AB=AC
因为D是斜边BC的中点
所以AD是等腰直角三角形ABC的中线,角平分线
所以AD=BD
角BAD=角CAD=1/.2角BAC=45度
所以角B=角CAD=45度
因为角BAC+角AED+角EDF+角AFD=360度
角EDF=90度(已证)
所以角AED+角AFD=180度
三角形EDF是直角三角形
S三角形DEF=1/2DE*DF
由勾股定理得:
EF^2=DE^2+DF^2
因为角AED+角BED=180度
所以角BED=角AFD
所以三角形BED和三角形AFD全等(AAS)
所以DE=DF
所以S三角形DEF=1/2DE^2
因为BE^2+CF^2=EF^2(已证)
BE=12 CF=6
所以EF^2=169
所以DE^2=169/2
所以S三角形DEF=169/4
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