Question

f(x)=8+2x-x2,若g(x)=f(2-x2),求g(x)单调区间与单调性 急。。。

解：f(x)=8+2x-x²
g(x)=f(2-x²)=8+2(2-x²)-(2-x²)²
=8+4-2x²-4+4x²-x⁴
=8+2x²-x⁴
g'(x)=4x-4x³=4x(1-x²)
在(-∞，-1)内，g'(x)>0，函数增
在(-1，0)内，g'(x)<0，函数减

在(0，1)内，g'(x)>0，函数增

在(1，+∞)内，g'(x)<0，函数减
我想问的是g'(x)是什么

Answer 1

g(x)单调递增区间为：[-1, 1]；单调递减区间为：（-∞，-1)，或(1, +∞)

f(x)=8+2x-x²
f(2-x²)=8+2(2-x²)- (2-x²)²
=8+4-2x²-(4-4x²+x^4)
=-x^4+2x² +8
=g(x)
若令x²=t，（t≥0）
则g(x)= -t² + 2t +8
=-(t²-2t) +8
=-(t-1)² + 9
显然，关于t的一元二次函数是一个开口向下的抛物线，
其对称轴为t=-1，根据其函数图像可得，当t≤1时，f(t)为单调递增函数；
当t≥1时，f(t)为单调递减函数。
因为，t=x² ≥0，所以，0≤t≤1时，即0≤x² ≤1时，即-1≤x ≤1时，g(x)单调递增函数;
同理，t≥1时，即x² ≥1时，即x≤-1，或x ≥1时，g(x)为单调递减函数.

Answer 2

g(x共有四个区间：

（-∞，-1)是递增区间，（－1、0）递减区间，（0，1）是递增区间，(1, +∞)是递减区间。