Question

一道高中数学证明题

给定实数a不等于0,a不等于1,设函数y=(x-1)/(ax-1) (x属于R且x不等于 1/a),
求证：经过该函数的任意两点的直线不平行于x轴
是证明k1 和 k2 不相等吗？

Answer 1

原题等价于证明
任意的x1，x2,x1≠x2≠1/a
(x1-1)/(ax1-1)≠（ x2-1)/(ax2-1)

(x1-1)/(ax1-1)-(x2-1)/(ax2-1)=[ax1x2-x1-ax2+1-(ax1x2-x2-ax1+1)]/[(ax1-1)(ax2-1)]=[(x2-x1)-a(x2-x1)]/[(ax1-1)(ax2-1)]=(1-a)(x2-x1)/[(ax1-1)(ax2-1)]
∵a不等于1，x1不等于x2，故原式不等于0
故(x1-1)/(ax1-1)≠（ x2-1)/(ax2-1)

Answer 2

k=（y1-y2）/(x1-x2)代入计算得
k=(1-a)/(ax1-1)(ax2-1)
因为a不等于1，所以k不等于0，即不平行于x轴

Answer 3

即证明对于任意x1≠x2，y1≠y2

y=(x-1)/(ax-1) 可化为y=[(1-a)/a^2]/(x-1/a)+1/a
这可由反比例函数y=[(1-a)/a^2]/x图像经过平移得到，由于反比例函数在各自象限内单调，且总有对于任意x1不等于x2，y1不等于y2，所以经过平移，这种性质依然成立。