Question

函数f(x)=x^2+(a+1)^2+|x+a-1|的最小值大于5，试求实数a的取值范围

百度知道上之前这个题的答案有问题，明显少加了1，求标准答案，验证下自己是否做对了

Answer 1

求根公式：x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a

x≤-a+1时f‘(x)=2x-1 => x=1/2 时f'(x)=0,f(x)有极小值 …………（1）
x>-a+1时f'(x)=2x+1 => x=-1/2 时f'(x)=0,f(x)有极小值 …………（2）
1/2 ≤-a+1（即a ≤1/2）时（1）式成立，即 f（1/2）= 1/4+(a+1)^2+|1/2+a-1|
=1/4+(a+1)^2+1/2-a=a^2+a+7/4 >5
=> B^2-4AC=1-4*(-13/4)*1=14
则a<[-1-√14]/2或a>[-1+√14]/2(舍去）
-1/2>-a+1（即a >3/2）时（2）式成立，即 f（-1/2）= 1/4+(a+1)^2+|-1/2+a-1|
=a^2+3a-1/4 >5 => B^2-4AC=9-4*(-21/4)*3=72
则a<[-3-6√2]/2(舍去）或a>[-3+6√2]/2>3/2
综上所述，a的范围是 a>[-3+6√2]/2或a<[-1-√14]/2