Question

拓扑学问题

设X是一个非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集组成的集族）T称为X的一个拓扑。当且仅当：
1．X和空集{}都属于T；
2．T中任意多个成员的并集仍在T中；
3．T中有限多个成员的交集仍在T中。
称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,T）。
为什么只要有这三个条件，就能保证T中的成员就是 开集？ 请举一些简单的例子说明。

Answer 1

不是说能保证T中的成员是开集。现在是，我们还不知道什么是开集，我们需要通过以前的一些经验，看看以前知道的开集都有一些什么特征，然后用这些特征，到我们未知的地方去定义那里的开集。

原先，我们在欧几里德空间，是有开集的。那时候，全集和空集都是开集（就是你所述的条件1），任意多个开集的并集还是开集（条件2），任何两个开集，或者说有限多个（是一样的）开集，它们的并仍然是开集（条件3）。在更一般的空间里，就可能没有“距离”的概念的（没有度量），但是只要有些集合放在一起满足以上的3个特征，仍然可以把它们称为开集。我们实际中对开集的应用，很多时候也无非就是用到了上面3个性质而已。

当然，欧几里德空间中的开集还有其他的性质。有很多，比如，欧几里德空间里任选两个不同的点x和y，都有包含x的一个开集和包含y的一个开集，使得这两个开集不相交。这个性质在拓扑里，你可能已经知道，叫做第二分离公理（T2公理），满足这个公理的拓扑空间叫Hausdorff空间。还有很多其他可能有的性质。但按我们通常的定义，我们不要求一个拓扑空间必须满足这些（除了你所述的3个条件以外的）要求，因为人们发现有些空间很有研究的意义，而不具备那些额外的性质。还是比如刚才所说的T2公理，那是大部分拓扑空间都应该具备的性质（至少本科拓扑课里很少触及真有意义的非Hausdorff空间），但仍然有一些很有意义的空间（比如，层）不满足这个T2公理。除了T2公理这个性质以外，还有很多很多可能的性质，拓扑课上会讲不少。允许一个拓扑空间不具有那些性质，会允许很多比较“变态”的拓扑存在（比如一个叫“余可数拓扑”的东西，它规定，X是某个无限集，空集规定为开集，任何有限集的补集，当然也就包括空集的补集，规定为开集，除此之外都不算开集，这个拓扑似乎完全是为了举反例用的，没什么其他用处或者意义），但是会把很多和欧几里德拓扑很不一样的东西的共性纳入进来（比如可以讨论连续函数），节省很多的重复工作、简化语言，这些对之后能简洁的描述其他东西都很有帮助，所以有人说，点集拓扑是一种比较基础的语言。