Question

设X1,X2,...Xn是来自正态总体N(μ，σ^2）的简单随机样本

设（X1,X2,...Xn）是来自正态总体N(μ，σ^2）的一个样本，记Y1=1/6(X1+X2+…+X6),Y2=1/3(X7+X8+X9)，

9
S^2=1/2∑(Xi-X2)^2,Z=√2(Y1-Y2)/S
i=7
求统计量Z的分布

Answer 1

f(x1)=1/(2piσ^2)^0.5*exp[-(x1-μ)^2/2σ^2]
...
f(xn)=1/(2piσ^2)^0.5*exp[-(xn-μ)^2/2σ^2]

L=f(x1)*f(x2)...f(xn)=[1/(2piσ^2)^0.5]^n*exp[-(x1-μ)^2/2σ^2+...-(xn-μ)^2/2σ^2]
L=[1/(2piσ^2)^0.5n]*exp{-[(x1-μ)^2/+...+(xn-μ)^2]/2σ^2}

lnL=ln[1/(2piσ^2)^0.5n]-[(x1-μ)^2/+...+(xn-μ)^2]/2σ^2
lnL=-0.5n*ln(2piσ^2)-[(x1-μ)^2/+...+(xn-μ)^2]/2σ^2

lnL(对σ^2的导数)=-n/(2σ^2)+[(x1-μ)^2/+...+(xn-μ)^2]/2σ^4
lnL(对σ^2的导数)=0
所以-n/(2σ^2)+[(x1-μ)^2/+...+(xn-μ)^2]/2σ^4=0

σ^2=[(x1-μ)^2/+...+(xn-μ)^2]/n