Question

量子力学波函数的全空间积分问题

我做这道题时，最后一步不太理解：

最后进行全空间积分就得到0了，其原因是什么呢？
然后这个打圈圈的积分符叫什么？
求解答，谢谢

Answer 1

最后一步用到了高斯定理。你可以将它类比于电磁学中的高斯定理，即闭合高斯面的电通量（∮E·dS，E为电场强度，dS为面元矢量，中间的“ · ”为点积，∮表示对整个闭合高斯面进行积分，其中的圈表示闭合曲面）等于高斯面内包含的电荷电量的代数和除以介电常数 ε0. 高斯定理可以将矢量场 A 的散度 ▽·A （标量）在一定区域的体积分，化为 A 关于包围该区域曲面的面积分。

上述推导过程默认了 ψ1，ψ2 可归一化，即它们的模方在无穷远处趋于 0，因而它们各自在无穷远处也趋于 0. 而 ▽ψ 有限，故当积分空间趋于整个空间（所取闭合高斯面趋于无穷大）时，积分结果是趋于 0 的（严格的证明过程可参见曾谨言的《量子力学教程》）。打圈的积分符∮就是对闭合曲面进行积分，它是个面积分。

Answer 2

最后一步用到了高斯定理。你可以将它类比于电磁学中的高斯定理，即闭合高斯面的电通量（∮E·dS，E为电场强度，dS为面元矢量，中间的“ · ”为点积，∮表示对整个闭合高斯面进行积分，其中的圈表示闭合曲面）等于高斯面内包含的电荷电量的代数和除以介电常数 ε0. 高斯定理可以将矢量场 A 的散度 ▽·A （标量）在一定区域的体积分，化为 A 关于包围该区域曲面的面积分。

上述推导过程默认了 ψ1，ψ2 可归一化，即它们的模方在无穷远处趋于 0，因而它们各自在无穷远处也趋于 0. 而 ▽ψ 有限，故当积分空间趋于整个空间（所取闭合高斯面趋于无穷大）时，积分结果是趋于 0 的（严格的证明过程可参见曾谨言的《量子力学教程》）。打圈的积分符∮就是对闭合曲面进行积分，它是个面积分。