一道关于圆锥曲线的题
已知P(4,0)是圆x²+y²=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程求过程~~~求高手解答~~~...
已知P(4,0)是圆 x²+y²=36 内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
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解:设Q(x,y),AB的中点为M,坐标为(x0,y0),则在Rt△ABP中,|AM|=|PM|.
又因为M是弦AB的中点,依垂径定理:在Rt△OAR中,|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-(x0²+y0²)
又|AM|=|PM|=√[(x0-4)²+y0²]
所以有(x0-4)²+y0²=36-(x0²+y0²),即x0²+y0²-4x0-10=0
因为M是PQ的中点,所以x0=(x+4)/2 , y0=(y+0)/2
代入方程x0²+y0²-4x0-10=0,得
((x+4)/2)²+(y/2)²-4*(x+4)/2-10=0
整理得:x²+y²=56,这就是所求的轨迹方程
又因为M是弦AB的中点,依垂径定理:在Rt△OAR中,|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-(x0²+y0²)
又|AM|=|PM|=√[(x0-4)²+y0²]
所以有(x0-4)²+y0²=36-(x0²+y0²),即x0²+y0²-4x0-10=0
因为M是PQ的中点,所以x0=(x+4)/2 , y0=(y+0)/2
代入方程x0²+y0²-4x0-10=0,得
((x+4)/2)²+(y/2)²-4*(x+4)/2-10=0
整理得:x²+y²=56,这就是所求的轨迹方程
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