Question

如何求函数的对称中心

Answer 1

设函数的对称中心为（a,b)
那么如果点（x,y)在函数的图象上，则点(2a-x,2b-y)一定也在函数的图象上，所以将点(2a-x,2b-y)代入到函数的解析式中，化简为y=f(x)的形式，此时表达式中含有a,b,将这个式子与原函数表达式进行比较，因为这两个函数表达式，表示的是一个函数，所以有进行比较系数，就可以得出a,b的值，自然也就求出了对称中心。
一、对称中心问题分析的根据是线段中点坐标公式。
1、先来分析两个点的中心对称问题。我们假设（x1,y1), (x2,y2)关于点（x0,y0)对称 ，则有x2=2(x0)-x1, y2=2y0-y1.
2、类似地分析函数图像上点的对称。我们假设函数y=f(x)图像上有一点（x1,f(x1)），根据中点坐标公式，则它关于点（x0,y0)对称的点应该为（2(x0)-x1, 2y0-f(x1)）；
3、函数的对称中心问题。根据函数图像上点的特点，有解析式的函数我们把横坐标代入解析式算出来的函数值就是相应的纵坐标。如果函数y=f(x)关于点（x0,y0)成中心对称，设（x1,f(x1)）为y=f(x)上一点，则2y0-f(x1)=f（2(x0)-x1）.
4、根据上述分析，如果已知函数关于某点成在中心对称，在给出对称中心和函数图像上一点的情况下就可以求出其对称点。如果给出一个点，要证明函数图像关于这个点对称，则只需要在函数图像上任取一点（x1,y1）,证明2y0-f(x1)=f（2(x0)-x1）成立即可。
二、关于对称轴的求法。
1、假设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于任意x∈I，都有f(a+x)=f(a-x)，则直线x=a就是函数y=f(x)的对称轴；
2、已知f(x+a)=f(b-x) ，则有
f((a+b)/2+x)=f((x+b/2-a/2)+a)=f(b-(x+b/2-a/2))=f(b/2+a/2-x)=f((a+b)/2-x)
所以其对称轴为x=(a+b)/2.
三、关于函数的周期。
假设函数y=f(x)的定义域是I，如果对于任意的x∈I，都有f(x+T)=f(x)，则T叫做函数y=f(x)的周期，其中最小的正数T叫做函数的最小正周期。
二次函数的对称轴-b／2a
三角函数sinA（kπ，0）
cosA（π／2 +kπ，0）
tanA（kπ／2）