Question

（2012·凉州）如图在平面直角坐标系中直线Y=x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,抛物线Y=-x^2+bx+c经过A,

（2012·凉州）如图在平面直角坐标系中直线Y=x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,抛物线Y=-x^2+bx+c经过A,b两点，并与x交于另一点c（c点a点的右侧）点p是抛物线上一动点、、

①求抛物线的解析式以及c的坐标。
②若点p在第二象限内，过点p作pd⊥x于点d，交AB与e，当p运动到什么位置时。Pe最长？此时的pe=？

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（-4，0），B（0，4）
抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，可得
−16−4b+c＝0c＝4，解得b＝−3c＝4，
∴抛物线解析式为y=-x²-3x+4．
令y=0，得-x²-3x+4=0，
解得x₁=-4，x₂=1，∴C（1，0）．

（2）如答图1所示，设D（t，0）．
∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴E（t，t+4），P（t，-t²-3t+4）．
PE=y_P-y_E=-t²-3t+4-t-4=-t²-4t=-（t+2）²+4，
∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（-2，6）．

（3）存在．
如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°，
∴NH=AH=4-m，∴y_Q=4-m．
又M为OA中点，∴MH=2-m．
△MON为等腰三角形：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴y_Q=4-m=3．
由-x_Q²-3x_Q+4=3，解得x_Q=−3±132，
∴点Q坐标为（−3+132，3）或（−3−132，3）；
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN²=NH²+MH²，即2²=（4-m）²+（2-m）²，
化简得m²-6m+8=0，解得：m₁=2，m₂=4（不合题意，舍去）
∴y_Q=2，由-x_Q²-3x_Q+4=2，解得x_Q=−3±172，
∴点Q坐标为（−3+172，2）或（−3−172，2）；
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON²=NH²+OH²，即2²=（4-m）²+m²，
化简得m²-4m+6=0，∵△=-8＜0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
所求Q点的坐标为（−3+132，3）或（−3−132，3）或（−3+172，2）或（−3−172，2

Answer 2

解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4．
令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1，
∴C（1，0）；
（2）如答图1所示，设D（t，0）．
∵OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∴E（t，t），P（t，﹣t2﹣3t+4）．
PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t=﹣t2﹣4t=﹣（t+2）2+4，
∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（﹣2，6）；
（3）存在．如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．
设OH=m（m>0），
∵OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∴NH=AH=4﹣m，
∴yQ=4﹣m．又M为OA中点，
∴MH=2﹣m．△MON为等腰三角形：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，
∴yQ=4﹣m=3．
由﹣xQ2﹣3xQ+4=3，解得：xQ=，
∴点Q坐标为（，3）或（，3）；
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，
即22=（4﹣m）2+（2﹣m）2，
化简得：m2﹣6m+8=0，
解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去），
∴yQ=2，由﹣xQ2﹣3xQ+4=2，解得：xQ=，
∴点Q坐标为（，2）或（，2）；
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，
即22=（4﹣m）2+m2，
化简得：m2﹣4m+6=0，
∵△=﹣8<0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
所求Q点的坐标为：（，3）或（，3）或
（，2）或（，2）．

Answer 3

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