Question

二次函数问题！！

下列命题：①若a+b+c=0，则b^2-4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b^2-4ac＞0，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3。其中正确的是？
要写明方法~急求~谢谢~

Answer 1

1对，b^2-4ac=(-a-c)^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2>=0
2错，a=c=-2，b=4时，4=b>a+c=-4，但是b^2-4ac=0，即方程有相等实数根
3对，b^2-4ac=(2a+3c)^2-4ac=4a^2+8ac+9c^2>0，所以有两个不等实根
4对，判别式大于零，函数有两个不等的实数根，所以与坐标轴x的公共点为两个，与坐标轴y的公共点为1个，所以当函数过原点时有公共点2个，不过原点时有公共点3个

Answer 2

①若a+b+c=0，则b^2-4ac≥0；
b^2-4ac=(-a-c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2>=0
正确

②若b＞a+c，则一元二次方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根
当|b|>|a+c|时，有
b^2-4ac>(a+c)^2-4ac=(a-c)^2>=0
所以 b^2-4ac>0
即方程有两个不相等的实根

但是 b>a+c 这个，不能够确定根的情况

③若b=2a+3c，则一元二次方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根
b^2-4ac
=(2a+3c)^2-4ac
=4a^2+12ac+9c^2-4ac
=4a^2+8ac+9c^2
因为 4a^2+9c^2>=2√(4a^2*9c^2)=12|ac|
所以上式大于等于
12|ac|+8ac>=0
可能有两个相等的实根

④若b^2-4ac＞0，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3
判别式大于0.所以二次函数图像与x轴的交点为 2 个
因为函数图像与y轴肯定有一个交点，
所以与坐标轴有3个交，
但是，当函数图像过原点时，则有2个交点
正确

综上正确的是 ① ④

Answer 3

1.4正确，2，3错误
b^2-4ac=（-a-c）^2-4ac=（a-c）^2
（a-c）^2恒大于〇
2和3错在a都有可能等于0
当二次函数与坐标轴的标点有一个是原点时，两个焦点。如不过原点就有三个

Answer 4

1对，b^2-4ac=(-a-c)^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2>=0
2错，a=c=-2，b=4时，4=b>a+c=-4，但是b^2-4ac=0，即方程有相等实数根
3对，b^2-4ac=(2a+3c)^2-4ac=4a^2+8ac+9c^2>0，所以有两个不等实根
4对，判别式大于零，函数有两个不等的实数根，所以与坐标轴x的公共点为两个，与坐标轴y的公共点为1个，所以当函数过原点时有公共点2个，不过原点时有公共点3个