Question

线性方程组有解的充要条件 证明

线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，怎么证？（不要用向量证）

Answer 1

设n元线性方程组系数矩阵为A，增广矩阵为B

证明：
① 必要性：反证法：设r(A)＜r(B)，则B的行阶梯型矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1，
这与方程组有解相矛盾，因此原假设不成立，即r(A)=r(B)。
② 充分性：将B化为行阶梯型，设r(A)=r(B)=r(r≤n)，则B的行阶梯型矩阵中含有r个非零行，
把这r个非零行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量，其余n-r个
作为自由未知量，并令n-r个自由未知量全取0，即可得方程组的一个解。
证毕！

顺便提一下，由以上不难得出，若方程组有解：
① 当r(A)=r(B)=n时，方程组没有自由未知量，因此只有唯一解。
② 当r(A)=r(B)=r＜n时，方程组有n-r个自由未知量，令它们分别等于C1,C2,,,C(n-r)，
可得含n-r个参数C1,C2,,,C(n-r)的解，这些参数可取任意值，所以此时方程组有无穷多解！

Answer 2

设n元线性方程组系数矩阵为A，增广矩阵为B

证明：
① 必要性：反证法：设r(A)＜r(B)，则B的行阶梯型矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1，
这与方程组有解相矛盾，因此原假设不成立，即r(A)=r(B)。
② 充分性：将B化为行阶梯型，设r(A)=r(B)=r(r≤n)，则B的行阶梯型矩阵中含有r个非零行，
把这r个非零行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量，其余n-r个
作为自由未知量，并令n-r个自由未知量全取0，即可得方程组的一个解。
证毕！

顺便提一下，由以上不难得出，若方程组有解：
① 当r(A)=r(B)=n时，方程组没有自由未知量，因此只有唯一解。
② 当r(A)=r(B)=r＜n时，方程组有n-r个自由未知量，令它们分别等于C1,C2,,,C(n-r)，
可得含n-r个参数C1,C2,,,C(n-r)的解，这些参数可取任意值，所以此时方程组有无穷多解！