Question

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]

吴大哥 求赐教！函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
___________
（填上所有正确的序号）
①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=ex（x∈R）；③f（x）=4x
x2+1
(x≥0)；④f（x）=loga(ax−1
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)(a＞0，a≠1)．

Answer 1

函数f(x)存在“倍值区间”,
若函数为增函数
即是函数f(x)图像与直线y=2x有2个交点。
画图即可

①f（x）=x^2（x≥0）；

存在
②f（x）=e^x（x∈R）；

不存在

③f（x）=4x +x2+1 (x≥0)；
这是二次函数吗？

④f（x）=loga(ax−18 )(a＞0，a≠1)．
这个也看不清。

追答

若f(x)为增函数，则(m,2m),(n,2n)都在f

函数f(x)的图像上，即需函数f(x)图像与直线y=2x有2个交点即可。

（3）麻烦些

 f'(x)=[4(x^2+1)-8x^2]/(x^2+1)

      =-4(x+1)(x-1)/(x^2+1)^2

f(x)在[0,1]上递增，在(1,+∞)上递减，

f(1)为最大值，f(1)=2

f(x)图像与直线y=2x有2个交点，

（4）

图像不好画 ，代数方法

f(x)是增函数

 需 log(a)[a^x-1/8]=2x有2个不等的实数解。

即a^(2x)=a^x-1/8=0(*)有两个实数解，

令a^x=t,原方程即

t^2-t+1/8=0

Δ=1-1/2=1/2>0

∴方程有2个正根t1,t2

那么(*)有2个实数解符合题意。