Question

数学题，求解，谢谢

Answer 1

（1）∵函数f(x)=2sin(ωx)
令ω=1，F(x)=f(x)+f(x+π/2)=2sinx+2sin(x+π/2)=2(sinx+cosx)=2√2sin(x+π/4)
∴F(x)为非奇非偶函数
（2）y=2sin2x
图象向左平移π/6 单位，再向上平移1个单位，
得到函数y=g(x)=2sin(2x+π/3)+1
∵函数g(x)，T=π，在每个周期内有两个零点
∴在区间[a,a+8π]上总有8个完整周期，当a≠某一零点时，即有16个零点；当a=某一零点时，即有16+1=17个零点；

由g(x)=2sin(2x+π/3)+1
可知，g(x)max=3，g(x)min=-1，初相=π/3
∴在每个完整周期内，有2个0点
∵区间[a,b]（a,b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．
∴30/2=15，即在[a，b]至多含有15个周期，可保证有30个零点
令g(x)=2sin(2x+π/3)+1=0,
2x+π/3=2kπ-π/6==>x=kπ-π/4
2x+π/3=2kπ-5π/6==>x=kπ-7π/12∴Y轴右侧g(x)第一个零点为5π/12，第二个零点为3π/4，第三个零点为17π/12，第四个零点为5π/4，……，第三十个零点为15π-π/4=59π/4，
∴b-a取最小值时，a=5π/12,b=59π/4∴b-a最小值为59π/4-5π/12=43π/3
或是15π-(π-(3π/4-5π/12))=43π/3

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