Question

数学行列式a b 0 ... 0 0 0 a b ... 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... a b b 0 0 ... 0 a

用定义法 怎么做 ，没有理解清楚，为什么 按定义的展开中只有2项不为0 ？？不理解 另外我知道 (-1)^t(234...n1) b^n 怎么还要加a^n a^n + (-1)^t(234...n1) b^n详解说明 谢谢！！

Answer 1

你知道按定义这个行列式展开，全部写下来【应该】有多少项吗？应该有 n！这么多项，这两项只是展开的n!个项中的两个，（因为这两个都是由不同行且不同列的元素排列成），而其它的项，只要不是这样的排列，（比如讲某一项不含a11(第一行第一列的元素）的【a】，那么它必然还不含另外一个【a】，而且也不可能含任意一个【b】！你自己可以用【较低阶】的行列式验证一下：否则，必将出现某个同一行（或同一列）的元素出现在一个展开项的情形，这是行列式【定义】所《不允许》的！）那么必然会有两个【0】《乘》在其中，这样的项，结果当然是 零。这样的项一共有 n!-2 个，应该不需要一个个“论证”吧？

上面说过 a^n 是这个行列式的【有效】展开项，行列式展开当然要包括它。只是因为
t(1234...n)=0
所以 (-1)^t(1234...n)a^n+(-1)^(234...n1)b^n=(-1)^0*a^n+(-1)t(234...n1)b^n
=1*a^n+(-1)^(234...n1)b^n
=a^n+(-1)^t(234...n1)b^n

追问

那么它必然还不含另外一个【a】，而且也不可能含任意一个【b】？？不太理解，能否举个简单例子说明下，谢谢。。答案是 D = a^n + (-1)^(n+1) b^n

追答

不含另一个 a 的问题：若四阶行列式 a11a22a33a44 全部由a组成 ，展开项为 a^4，若不含a11的那个a，那么这个项可能是 a（非1的某行、非1的某列）*a22a33a44 吗？不可能！那《非1的行》、《非1的列》填入任何数（当然小于等于4）都会和 a22、a33、a44中的某一元素同行或同列！所以：如果不含某一个 a，必然同时不含另一个 a!

含一个b的问题：我是就【只缺两个】a的情形在谈【全部】用b替换的不可能性。在这样的情况下当然可以由一个 b和一个0来替换。在其它情况下，同时含 a、b 的《交叉项）也很多，但都有“0”做因数，其值为 0.

追问

谢谢

追答

其实，这样的结局最理想了——我的被推荐、他的被采纳。

谢谢你的最后回应。

追问

哈哈，也非常感谢你的耐心解答。。

Answer 2

a b 0 ... 0 0
0 a b ... 0 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 ... a b
b 0 0 ... 0 a

根据行列式的定义, 展开式中的一项由行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积构成
或者说每行每列恰取一个元素相乘

第一行有a, b两种取法
先考虑第一行取a, 那么 第2列只能取a (这是因为第2列的b与第一行的a在同一行)
同理, 第3列也只能取a, ........ 如此下去得n个a相乘的一项
其符号为 (-1)^t(123...n) = 1 为正

再考虑第一行取b时, 第二行只能取b, ......., 第n行只能取b
得b^n, 这n个b位于第2列,3列,...,n列, 1列
其符号为 (-1)^t(234...n1) = (-1)^(n-1)

所以 D = a^n + (-1)^(n-1) b^n

追问

答案是 D = a^n + (-1)^(n+1) b^n

追答

一样的！
n＋1，n-1同奇偶