Question

问题是(1)f(x)的单调区间和极值。(2)求证:当a>ln2-1且x>0.e^x>x^2-2ax

问题是(1)f(x)的单调区间和极值。(2)求证:当a>ln2-1且x>0.e^x>x^2-2ax+1

Answer 1

（1）解：∵f（x）=ex-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，ln2） ln2 （ln2，+∞）
f′（x） - 0 +
f（x） 单调递减 2（1-ln2+a） 单调递增

故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=eln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a）．

（2）证明：设g（x）=ex-x2+2ax-1，x∈R，
于是g′（x）=ex-2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2-1时，
g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即ex-x2+2ax-1＞0，
故ex＞x2-2ax+1．
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