Question

如图 在rt三角形abc中 角acb等于90度,BE平分角ABC交AC于点E,点D在AB上,DE垂直于EB

（1）求证，AC是三角形BDE的外接圆的切线
（2）若AD=2倍根号六，AE=6倍根号六，求EC的长

Answer 1

1、∵ED⊥BE即∠DEB=90°

∴BD是△BDE外接圆的直径，取BD中点O，连接OE

那么OE=OD=OB(O是圆心），得：∠ODE=∠OED

∵∠ACB=∠DEB=90，即∠ECB=∠DEB=90°

BE平分∠ABC，那么∠ABE=∠CBE，即∠DBE=∠CBE

∴△BCE∽△BED

∴∠BEC=∠BDE=∠ODE=∠OED

∴∠OED+∠OEB=90°

∴∠BEC+∠OEB=90°

即∠OEC=90°

∴OE⊥AC

∴AC是三角形BDE的外接圆的切线

2、∵AC是三角形BDE的外接圆的切线

∴∠AED=∠ABE

∵∠EAD=∠DAE

∴△ADE∽△ABE

∴AD/AE=AE/AB

AB=AE²/AD=((6√6)²/(2√6)=9√6

∴BD=AB-AD=9√6-2√6=7√6

那么OD=OB=1/2BD=7√6/2

∴OA=AD+OD=2√6+7√6/2=11√6/2

∵∠OEA=∠OEC=∠ACB=90°

∴OE∥BC

∴OA/OB=AE/EC

(11√6/2)/(7√6/2)=6√6/EC

EC=42√6/11

Answer 2

（1）要证AC为圆O的切线，只要证明OE垂直AC即可。
连接OE和BE，则，OE=OB (同为圆O的半径）
故，角OBE=角OEB，但，OBE角=角CBE (题设）
故，角OEB=角CBE (等量置换）
故，OE//BC (内错相等）
因，AC垂直BC,
故，OE垂直于AC
所以，AC是圆O的切线，（圆O是△BDE的外接圆）

（2）
解：因AC是圆O的切线，E点为切点 （上面已证明过）。
故有：AE^2=AD*AB (切割线定理）
【实际上，这也可由△ABE～△ADE，对应边成比例得到】
由此得到：AB=AE^2/AD
AB=(6根号2)^2/6=12
BD=AB-AD=12-6=6
OB=BD/2=6/2=3
Rt△AEO～△ACB （Rt三角形中，角A=角A）
故，AE:EC=AO:OB
EC=AE*OB/AO
=6根号2*3/(6+3)
故，EC=2根号2