Question

在三角形ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c，已知 cosC＋（cosA－√3sinA）

在三角形ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c，已知 cosC＋（cosA－√3sinA）cosB＝0 求角B的大小，若a+c=1,求b的取值范围

Answer 1

∵cosC＋（cosA－√3sinA）cosB＝0，
∴－cos（A＋B）＋cosAcosB－√3sinAcosB＝0，
∴－cosAcosB＋sinAsinB＋cosAcosB－√3sinAcosB＝0，
∴sinA（sinB－√3cosB）＝0，∴sinB－√3cosB＝0，∴tanB＝√3，∴B＝60°。

由余弦定理，有：
b^2＝a^2＋c^2－2accosB＝（a＋c）^2－3ac。······①
显然有：a＋c≧2√（ac），∴（a＋c）^2≧4ac，∴（3/4）（a＋c）^2≧3ac。······②
①＋②，得：b^2＋（3/4）（a＋c）^2≧（a＋c）^2，∴b^2≧（1/4）（a＋c）^2＝1/4，
∴b≧1/2。
显然有：b＜a＋c＝1，∴1/2≦b＜1。
∴满足的条件的b的取值范围是［1/2，1）。

追问

为什么a+c大于等于2√ac？