Question

设随机变量X的概率密度函数为f(x)=1/2*e^(-|x|),x属于负无穷到正无穷，求:(1)X

设随机变量X的概率密度函数为f(x)=1/2*e^(-|x|),x属于负无穷到正无穷，求:(1)X的概率分布函数(2)X落在(-5，10)内的概率(3)求X的方差

Answer 1

1)
分布函数把密度函数作到x为止的积分
F(x)=∫(-无穷~x)f(x)dx
=0.5e^x (x<=0)

(x>0时)
=F(0)(到0为止的累积密度)+∫(0~x)f(x)dx
=0.5+0.5(1-e^(-x))
=1-0.5e^(-x)

注:(F(x)在f(x)累积之前取0，累积完毕取1,这里密度函数f(x)定义域包括全体实数所以不用考虑)

2)
=F(10)-F(-5)
=1-0.5e^(-10)-0.5e^(-5)

3)
E(X²)=
∫(-无穷~无穷) x²(0.5e^-|x|) dx
=0.5∫(0~无穷)2x²e^(-x) dx (利用对称性)
=∫x²e^(-x) dx
=gamma(3)
=2

E(X)=0 (偶函数密度)
D(X)=E(X²)-E(X)²=2

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学概率论不能不会gamma函数，以下是一些常见用法
(gamma(n)=∫x^(n-1)e^(-x)dx
gamma(n)=(n-1)!
gamma(n)=n*gamma(n-1)
gamma(1/2)=根号π)
)

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另
关於x²e^(-x)的积分，可以设不定积分为(ax²+bx+c)e^(-x)
反求导得(2ax+b-ax²-bx-c)e^(-x)，所以需要满足
-a=1
2a-b=0
b-c=0

a=-1
b=-2
c=-2
所以求x喷发e(-x)不定积分得 -(x²+2x+2)e^(-x)+C

(遇到复杂的情况每次都要分步积分实在太慢,且每高一次数多分一次)

分步的话
∫x²e^(-x)-2xe^(-x)+2(xe^(-x)-e^(-x)+e^(-x)) dx
=-x²e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C

其实并不简单哪去吧，只有一次函数乘以e^(kx)这种用分步作可能比较快