Question

设a,b,c是三个不同的整数，f(x)是整系数多项式，求证：不可能同时有f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a

Answer 1

假设有f（a）=b,f（b）=c,f(c)=a.依题意显然有a-b|b-c,a-c|b-a,a-b|c-a,由于是轮换对称式，只需设a＞b＞c,或者a＞c＞b,只证明a＞b＞c，剩下的同理，那么有b-c≥a-b≥a-c≥a-b,a-b=a-b,于是a-b=a-c,b=c,这与a,b,c是三个不同的整数矛盾

Answer 2

反证法。
不失一般性，我们设a<b<c
让f(x)=p(n)*x^n+p(n-1)*x^(n-1)+...+p(1)*x+p(0)
p(n),p(n-1),...,p(0)是整数
于是我们有：
f(c) - f(a)=a - b
并且将c和a代入f(x)的表达式之后，我们得到f(c)-f(a)=（c-a)*N （N为某个整数，你自己带进去化简下）
于是： a-b=(c-a)*N
两边取绝对值，根据假设，我们有|c-a|>|a-b|，所以上式不可能成立，由矛盾导出结论

Answer 3

f(a)=b,f(b)=c 相减得到
a-b整除b-c

f(b)=c,f(c)=a相减得到
b-c整除c-a

f(c)=a,f(a)=b相减得到
c-a整除a-b

a-b整除b-c,b-c整除c-a,c-a整除a-b
得到a-b=b-c=c-a=a-b
可以推出a=b=c.
矛盾。