Question

求曲线x=a(cost)^3,y=a(sint)^3在t=t0处的曲率

Answer 1

求曲线x=a(cost)³,y=a(sint)³在t=to处的曲率
解：dy/dx=y'=(dy/dt)/(dx/dt)=-(3acos²tsint)/(3asin²tcost)=-cott
d²y/dx²=y''=(dy'/dt)/(dx/dt)=csc²t/(-3acos²tsint)=-1/(3acos²tsin³t)
故曲率k=∣y''/√(1+y'²)³∣=∣[-1/3acos²tsin³t)]/√(1+cot²t)³∣
=∣[-1/(3acos²tsin³t)]/(csc³t)∣=1/(3acos²t)
当t=to时，ko=1/(3acos²to)，这就是在t=to处的曲率。

追问

答案有问题：答案为：∣2/(3acos2to)∣

追答

=1/(3acos²t)=1/[3a(1+cos2t)/2]=2/[3a(1+cos2t)].(a>0)

你的答案写错了吧？

追问

课本后的答案，应该错不了

追答

k=......=1/(3acos²to)=1/[3a(1+cos2to)/2]=2/[3a(1+cos2to)].(a>0)

这个答案是对的！课本后的答案就一定不会错？不一定吧！

追问

课后答案我算出来了，你的答案有错误：
dx=-3asint(cost)^2，dy=3a(sint)^2cost
dy/dx=[3a(sint)^2cost]/[-3asint(cost)^2]=-tant
d^2y/dx^2=[d(dy/dx)]/dx=[-(sect)^2]/[-3asint(cost)^2]=1/[3asint(cost)^4]

追答

我计算有错，重作如下：

追问

这个非常正确，感谢您耐心的解答。

追答

前面我没用纸和笔，完全用的心算，结果搞迷糊了！
把一阶导数的分子分母搞颠倒了！很抱歉！