Question

若关于x的不等式(2x-1)^2<ax^2的解集中整数恰好有3个，求实数a的取值范围答案是(25/9,49/16]

请问这是怎么算出来的，详细过程谢谢!

Answer 1

不等式转换一下就变成了(1/x-2)^2<a 考虑x的整数解，从1开始增加的时候(1/x-2)^2的值是递增的，从-1开始减少的时候(1/x-2)^2的值是递减的，所以要通过参数a把x的整数解限定到三个只需考虑(1/x-2)^2当x能取到三个整数的最小值和能取到四个整数的最小值 而x->-无穷的时候(1/x-2)^2趋近于4，故x取负数(1/x-2)^2最小也大于4 当x取正整数的时候(1/x-2)^2一定小于4，故x一定为正整数 而x为正整数(1/x-2)^2递增，所以x的正整数取值应该为1，2，3 故参数a应该使x能取到3而取不到4 即（1/3-2）^2<a<=(1/4-2)^2 左边是保证能取到3右边保证取不到4 解出答案（25／9，49／16]