Question

若0<x<3/4,求y=x+1/(3x-4)的最小值

若0<x<1/2,求y=2x(2-4x)最大值

Answer 1

(1)0<x<4/3→4/3-x>0.
故依基本不等式得
y＝x+1/(3x-4)
＝(x-4/3)+1/[3(x-4/3)]
＝-[(4/3-x)+1/(3(4/3-x))]
≤-2√[(4/3-x)·1/(3(4/3-x))]
＝(-2√3)/3.
∴4/3-x＝1/(3(4/3-x)),
即x＝(4-√3)/3时，
所求最大值为：(-2√3)/3.
不存在最小值值。

(2)0<x<1/2→x>0且1-2x>0.
故依基本不等式得
y＝2x(2-4x)
＝2·(2x)·(1-2x)
≤2[(2x+1-2x)/2]^2
＝1/2.
故2x＝1-2x,即x＝1/4时，
所求最大值为：1/2。