Question

急急急！！！将函数f(x)=（2√3csx-2sinx）/（5+2cos^2x-2√3sinxcosx ）+2的图像按向量a=(π/6,-2)平移

将函数f(x)=2√3csx-2sinx/5+2cos^2x-2√3sinxcsx +2的图像按向量a=(π/6,-2)平移，得到函数g(x)的图像
1化简f(x)的表达式，并求出函数g(x)的表达式
2指出函数g(x)在[-π/2,π/2]上的单调性
3已知A（-2,3/2）B(2,9/2)问在y=g(x)的图像上是否存在一点使得向量AP垂直于向量BP

Answer 1

（1）2√3cosx-2sinx=2(√3cosx-sinx)=-4sin(x-π/3)

5+2cos²x-2√3sinxcosx=5+1+cos2x-√3sin2x=6-2sin(2x-π/6)

∴f(x)=[-4sin(x-π/3)]/[6-2sin(2x-π/6)]+2

        =[-2sin(x-π/3)]/[3-sin(2x-π/6)]+2

将f(x)的图像按向量a=(π/6,-2)平移，即

先向右平移π/6个单位，再向下平移2个单位

得到的新函数图像为

y-(-2)=y+2=f(x-π/6)

=[-2sin(x-π/6-π/3)]/{3-sin[2(x-π/6)-π/6]}+2

=[-2sin(x-π/2)]/[3-sin(2x-π/2)]+2

=[2cosx]/[3+cos2x]+2

=[2cosx]/[3+2cos²x-1]+2

=cosx/(1+cos²x)+2

∴新函数y=g(x)=cosx/(1+cos²x)

（2）对g(x)求导，可得

g'(x)=[-sinx(1+cos²x)-cosx*2cosx*(-sinx)]/(1+cos²x)²

=[-sinx+sinxcos²x]/(1+cos²x)²

=-sinx(1-cos²x)/(1+cos²x)²

=-sin³x/(1+cos²x)²

函数g(x)在区间[-π/2,π/2]上，

当x∈[-π/2,0]时，g'(x)≥0，函数单调递增

当x∈[0,-π/2]时，g'(x)≤0，函数单调递减

（3）两个向量垂直时，点积为0

设在g(x)的图像上的某点P(x,y)，则有

y=cosx/(1+cos²x)               (1)

则向量AP=(x+2,y-3/2)，向量BP=(x-2,y-9/2)

若向量AP垂直于向量BP，则有

(x+2)*(x-2)+(y-3/2)*(y-9/2)=0           (2)

方程(2)经化简可得

x²+(y-3)²=25/4=(5/2)²

这是一个圆心在C(0,3)，半径为5/2的圆

点P同时满足方程(1)(2)，则点P需既在函数g(x)图像上，又在圆C上

由几何关系知，当x≠0时，g(x)图像与圆C无交点

当x=0时，由单调关系知，g(x)取得最大值g(0)=1/2

而此时圆C也存在最小值点(0,1/2)

∴当点P为圆C与g(x)图像的交点时，向量AP与向量BP垂直

即存在满足条件的点P=P(0,1/2)