Question

已知关于x的方程mx^2-(2m+1)x+5m+1=0有实根

已知关于x的方程mx^2-(2m+1)x+5m+1=0有实根
1.在区间[3/2,5]内有两个实数根，求实数m的取值范围
2.在区间[3/2,5]内仅有一个实数根，求实数m的取值范围
3.在区间[3/2,5]内有实根，求实数m的取值范围

求详细过程可加分

Answer 1

将原式变形得m=(x-1)/[(x-1)^2+4],当x=1时，m=0,它的根不在区间[3/2,5]内，不符合，所以x-1≠0时,上下同除以x-1得m=1/[x-1+4/(x-1)],1/m=x-1+4/(x-1),x-1+4/(x-1)的图像如下图

1. 在区间[3/2,5]有两个实数根，则4<1/m《5，m∈[1/5,1/4)

2. 在区间[3/2,5]仅有一个实数根，则1/m=4,或5<1/m《17/2，解得m∈[2/17,1/5)且m=1/4

3. 4《1/m≦17/2,得m∈[2/17,1/4]

Answer 2

1. 须满足3个条件：

   1）二次项系数m≠0且,△>=0, 即(2m+1)^2-4m(5m+1)>=0, 得：-1/4=<m<=1/4 ，且m≠0;

   2) 对称轴在区间[3/2,5]内，即3/2=<(2m+1)/(2m)<=5, 解得：1/8=<m<=1

   3) 令f(x)=mx^2-(2m+1)x+5m+1, 须有f(3/2)>=0, 且f(5)>=0, 即：

                9m/4-3(2m+1)/2+5m+1>=0,得：m>=2/17

                且25m-5(2m+1)+5m+1>=0,得：m>=1/5

   综合得：1/5=<m<=1/4

2. 仅有一个实根，有3种情况：

   1）为一次方程，此时m=0,方程为-x+1=0,得：x=1, 不在区间内，舍去；

   2）为二次方程，有等根，即△=0，解得：m=-1/4,或1/4. 当m=-1/4时，根为(2m+1)/(2m)=-1,舍去；当m=1/4时，根为(2m+1)/(2m)=3,在范围，符合；

   3）为二次方程，有不等根，其中只有一个根在[3/2,5]内，则f(3/2)f(5)<=0,

          即(17m-2)(5m-1)<=0,得：2/17=<m<=1/5

   综合得：2/17=<m<=1/5, 或m=1/4

3. 方程改写为：m(x^2-2x+5)=x-1

               即m[(x-1)^2+4]=x-1

   记t=x-1, 在x在区间[3/2,5]时，t在区间[1/2,4]

           m(t^2+4)=t

            m=t/(t^2+4)=1/(t+4/t)

         而t+4/t>=2√(t*4/t)=4, 当t=4/t,即t=2时取等号；

         最大值在[1/2,4]端点取得，当t=1/2时，t+4/t=1/2+8=17/2；当t=4时，t+4/t=5, 

         故t+4/t的值域为[4,17/2], 因此m的值域为[2/17,1/4]

           

追问

要不要考虑m的正负？回答很详细赞一个

追答

第1题的第3）小点是要考虑m的正负的，只不过从第2小点已知m>0了，所以直接就用f(3/2)>=0, f(5)>=0了。
第2题的第3）小点不用考虑正负

Answer 3

1
Δ=(2m+1)^2-4m(5m+1)>0

对称轴x=(2m+1)/2m满足
3/2<(2m+1)/2m<5

f(3/2)f(5)=(1/4)(17m-2)(20m-4)>=0

上面三个关系解得m∈[1/5, 1/4)

2

有一个实根，分两种情况

一 是抛物线与x轴只有一个交点，交点恰好在[3/2,5]
此时Δ(2m+1)^2-4m(5m+1)=0

且对称轴x=(2m+1)/2m满足
3/2<=(2m+1)/2m<=5

解得m=1/4

二 抛物线与x轴有两个交点，恰好有一个交点在[3/2,5]

此时有Δ=(2m+1)^2-4m(5m+1)>0
f(3/2)f(5)=(1/4)(17m-2)(20m-4)<=0
得到m∈[2/17, 1/5)

所以综上两种情况，m∈[2/17, 1/5)∪{1/4}

3
综上两种情况，在[3/2,5]有实根的解，就是1和2的并集
m∈[2/17, 1/4]

Answer 4

（1）(2m+1)^2-4m(5m+1)大于0是 解之得m大于-1/4 小于1/4
（2）当M=1/4时 只有一个实根
满意请采纳。

追问

别从网上复制个下来求过程

Answer 5