Question

是否存在常数abc,使(1/n)^3+(2/n)^3+...+(n/n)^3

是否存在常数A,B,C,使(1/N)^3+(2/N)^3+……+(N/N)^3=(AN^2+BN+C)/N对一切N属于N*都成立求出A,B,C值并证明

Answer 1

有个定理，很好用
1^3+2^3+....+N^3=(1+2+....+N)^2

所以
(1/N)^3+(2/N)^3+……+(N/N)^3
=(1^3+2^3+....+N^3)/N^3
=(1+2+....+N)^2 /N^3
=[N(N+1)/2]^2 /N^3
=(N+1)^2/4N

因为(1/N)^3+(2/N)^3+……+(N/N)^3=(AN^2+BN+C)/N

所以(N+1)^2/4N=(AN^2+BN+C)/N

所以(N+1)^2/4=AN^2+BN+C

左边展开后，对照系数得到A=1/4，B=1/2，C=1/4

追问

这是什么定理啊 好像没学过啊 除了这个方法还有别的么

追答

高考时候，别人总能提前交卷，就是因为他比你多知道一点。

Answer 2

1^3+2^3+……+n^3=[n^2(n+1)^2]/4
所以
(1/n)^3+(2/n)^3+...+(n/n)^3=（n+1）^2/(4n)=(1/4n^2+1/2n+1/4)/n

追问

求出abc的值啊 值是多少 况且是用数学归纳法证明

追答

a=1/4,b=1/2,c=1/4
其实运算的过程就是证明过程了