Question

线性代数 化二次型 题九 不用看我写的 求详细过程

Answer 1

二次型的矩阵 A =
[1 1 0]
[1 1 0]
[0 0 3]
|λE-A| =
|λ-1 -1 0|
|-1 λ-1 0|
|0 0 λ-3|
=(λ-3)[(λ-1)^2-1]=λ(λ-3)(λ-2)
得特征值 λ=3, 2, 0。
对于 λ=3， λE-A =
[2 -1 0]
[-1 2 0]
[0 0 0]
得特征向量 (0, 0, 1)^T;
对于 λ=2， λE-A =
[1 -1 0]
[-1 1 0]
[0 0 -1]
得特征向量 (1, 1, 0)^T, 单位化得(1/√2, 1/√2, 0)^T;
对于 λ=0， λE-A =
[-1 -1 0]
[-1 -1 0]
[0 0 -3]
得特征向量 (1, -1, 0)^T, 单位化得(1/√2, -1/√2, 0)^T.
取正交矩阵 P =
[0 1/√2 1/√2]
[0 1/√2 -1/√2]
[1 0 0]
则 P^TAP=∧=diag(3, 2, 0)
即二次型化为 f=3(y1)^2+2(y2)^2
所用变换 x=Py。

Answer 2