Question

1\1x2+1\2x3+1\3x4+1\4x5......+.....+.......+.......+......+1\1999x2000

Answer 1

1\1x2+1\2x3+1\3x4+1\4x5......+.....+.......+.......+......+1\1999x2000
=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）++.......+（1/1999-1/2000）
=1-1/2000
=1999/2000

Answer 2

裂项法求和~。

把下面这个给你就都懂了：

1 / n*(n+1) = 1/n - 1/(n+1)
（这个是显然的，一通分你就看出来了）

于是，
1 / 1*2 = 1 - 1/2,
1 / 2*3 = 1/2 - 1/3,
……
1 / 1999*2000 = 1/1999 - 1/2000,

把上面的式子相加：

1\1x2+1\2x3+1\3x4+1\4x5 + … +1\1999x2000
= 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + … + 1/1999 - 1/2000.
中间的都约掉了，
最后等于： 1 - 1/2000 = 1999/2000.

Answer 3

原式=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……-1/1998+1/1998-1/1999+1/1999-1/2000
=1-1/2000
=1999/2000

Answer 4

原式=1-1/2 1/2-1/3 1/3-1/4…依次类推