Question

如图，无穷级数部分，可以进行如图的积分次序交换吗？求大神解答，谢谢！

Answer 1

不能，你得证明
|∑x^2 (1-x)^n|<∞

追问

为什么呢，幂级数中不是只要和函数在收敛域上连续就可以积分和求和交换次序了吗

追答

你把逻辑关系搞错了，是幂级数在收敛半径 (-R,R) 内和函数连续，并且可积。
什么是收敛半径？收敛半径是当|x|<R时，幂级数绝对收敛，即 |∑x^2 (1-x)^n|<∞

追问

这不就是幂级数吗

追答

幂级数指的是x^n

追问

1-x的n次方不是幂级数吗

追答

这和x^n不是一回事么

追问

变量代换下不就行了

追答

幂级数是∑x^2 (1-x)^n，唉长时间不看中文，有东西混进来了～但是我之前写得不是很清楚么？ 幂级数在收敛半径 (-R,R) 内和函数连续，并且可积。
这样是不是更明白写些

明白了么，明白就给个分吧～

追问

你不明白我意思，我写在纸上给你看

我这样写不对吗

追答

嘿～我一直在说的不就是这个问题么，你不经过证明
|∑x^2 (1-x)^n|<∞ 是不能将求和符号和积分符号交换的啊，不管你怎么替换，你第二个等于号那里也不能直接的出来的，你得根据x的范围，确定是不是和是收敛的

追问

x题目中是限制在0-1内的啊，那不就是在收敛域里吗

追答

收敛，但是答题的时候，还是要另写出来的，并且x∈(0,1)，以及x=0，x=1要分别列出来，不然肯定会丢分

追问

是不是这题an不算是幂级数啊

追答

不是，因为定积分出来的是个常数

追问

嗯，好吧好吧，谢谢你

追答

小事

我不应该写常数，a_n的出来的结果是个关于n的数列

幂级数是带x^n，所以肯定不是幂级数

追问

嗯嗯，我知道了

追答

其实我之前还有个地方写的有点问题
收敛半径是当|x|<R时，幂级数绝对收敛，即 ∑|x^2 (1-x)^n|<∞|∑x^2 (1-x)^n|<∞ 因为x≥0这里用收敛就足够了

1-x≥0，喵的，一不注意又打错了

追问

嗯嗯，你也考研的吗

追答

姐读研的

追问

姐姐数学好好

追答

不好~都忘的差不多了

追问

向你学习

Answer 2

豆子，这个正确的，但是你会发现真心求不出，还是先把An求出来，再用常用无穷级数求出

追问

可以求啊，而且很简单啊

追答

感觉应该没问题，

追问

但是全书答案没有这样做

给了好几种方法，但没有这种

追答

这题我去年考研时也做过，你的想法很好，并且感觉没错

但不建议用哈

下次这样题目还是建议用老方法

追问

但什么分部积分复杂啊，而且还容易错

追答

这个方法很好，小题建议用哈

追问

主要这不就是逐项求和积分，不就是求幂级数的大题方法嘛，我实在不知道有什么问题

追答

这个没问题，因为把求和展开看没问题，到如果遇到是别的呢？

追问

嗯，我知道啦，谢谢

追答

你这题想法很好，但遇到其他题可能不行

追问

嗯嗯

追答

所以你要展开试试，这题展开没有问题

追问

是不是这题他这个an不是幂级数

追答

这个an是个关于n的函数

追问

嗯嗯

追答

嗯嗯，加油！