Question

数学题 急求解！！！！

以A为顶点的抛物线与Y轴交于点B，已知A，B两点的坐标分别为（3，0）、(0,4) (1)求抛物线的解析式 （2）设M（m,n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧，若以M,B,O,A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求M的坐标
（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立？请说明理由

Answer 1

(1) 抛物线对称轴平行y轴，由顶点A(3,0)可设，y-0=k(x-3)^2.
过点B(0,4),==> k=4/9. 即 9y=4(x-3)^2.
若对称轴平行x轴，由顶点A(3,0)可设，x-3=k(y-0)^2.
过点B(0,4),==> k=-3/16. 即 16(x-3)=-3y^2.
抛物线的解析式为 9y=4(x-3)^2 或16(x-3)=-3y^2.
(2) 16(x-3)=-3y^2对称轴为y=0，即x轴。9y=4(x-3)^2对称轴为x=3.
点M(m,n)位于对称轴的右侧，说明 抛物线为9y=4(x-3)^2，且m>3.
点M在抛物线上，==>n=4(m-3)^2/9.
m、n为正整数==>m=3(j+1),n=4j, j为正整数.
==>|AM|=sqrt((m-3)^2+n^2)=5j,|BM|=sqrt(m^2+(n-4)^2)=sqrt(25j^2-14j+25),|OA|=3,|OB|=4,
因为|AM|,|BM|,|OA|,|OB|是四个连续的正整数,
所以j=1，|AM|=5，|BM|=6满足条件。
故 M（6，4）。
（3）点P(3,y).
|PA|^2+|PB|^2+|PM|^2>=3(|PA|*|PB|*|PM|)^(2/3),
取等条件为 |PA|=|PB|=|PM|。
由于|PB|=|PM|恒成立，考虑|PA|=|PB|。
==> y^2=3^2+(y-4)^2 ==> y=25/8.
即当y=25/8时，|PA|^2+|PB|^2+|PM|^2有最小值3|PA|^2=3(25/8)^2=29.3 .
于是，对于对称轴上任意一点P，|PA|^2+|PB|^2+|PM|^2>28 恒成立。

Answer 2

(1) 抛物线对称轴平行y轴，由顶点A(3,0)可设，y-0=k(x-3)^2.
过点B(0,4),==> k=4/9. 即 9y=4(x-3)^2.
若对称轴平行x轴，由顶点A(3,0)可设，x-3=k(y-0)^2.
过点B(0,4),==> k=-3/16. 即 16(x-3)=-3y^2.
抛物线的解析式为 9y=4(x-3)^2 或16(x-3)=-3y^2.
(2) 16(x-3)=-3y^2对称轴为y=0，即x轴。9y=4(x-3)^2对称轴为x=3.
点M(m,n)位于对称轴的右侧，说明 抛物线为9y=4(x-3)^2，且m>3.
点M在抛物线上，==>n=4(m-3)^2/9.
m、n为正整数==>m=3(j+1),n=4j, j为正整数.
==>|AM|=sqrt((m-3)^2+n^2)=5j,|BM|=sqrt(m^2+(n-4)^2)=sqrt(25j^2-14j+25),|OA|=3,|OB|=4,
因为|AM|,|BM|,|OA|,|OB|是四个连续的正整数,
所以j=1，|AM|=5，|BM|=6满足条件。
故 M（6，4）。
（3）点P(3,y).
|PA|^2+|PB|^2+|PM|^2>=3(|PA|*|PB|*|PM|)^(2/3),
取等条件为 |PA|=|PB|=|PM|。
由于|PB|=|PM|恒成立，考虑|PA|=|PB|。
==> y^2=3^2+(y-4)^2 ==> y=25/8.
即当y=25/8时，|PA|^2+|PB|^2+|PM|^2有最小值3|PA|^2=3(25/8)^2=29.3 .
于是，对于对称轴上任意一点P，|PA|^2+|PB|^2+|PM|^2>28 恒成立。

ps，我觉得，（2）中 M（m,n）位于对称轴的右侧的说法不够严谨，
因为已知条件并没有说明一定是对称轴平行y轴。

Answer 3

你这是初二的吧，我在上才上初二，我还不会，不好意思。

Answer 4

不会，我才6年级