Question

关于线性代数的问题: 请教亲们个问题:设α，β均为3维列向量， β^T是 β的转置矩阵。则 α*

关于线性代数的问题: 请教亲们个问题:设α，β均为3维列向量， β^T是 β的转置矩阵。则 α* β^T是秩为1的n阶矩阵。 这是为什么？谢谢！

Answer 1

我在这里给你提供一个证明的方法：R（α* β^T）可以看成是两个矩阵想乘。三维列向量其实是一个一列三行的矩阵哦。然后有公式R（AB）≤min（R(A)，R(B)）然而R(A)R(B)都是非0一维列向量，他的秩就是1，而R（α* β^T）这个里面肯定是非零的，所以R（α* β^T）是≥0的，那么通过这个不等式，能证明你要的结论。肯定还有别的大神有更好的方法。这个送给你参考参考。祝你学习进步啊

追问

为什么R(A),R(B）都是非零的一维列向量呢？

追答

你这个结论是有条件的，所给出的两个列向量都是非零列向量来的。如果给出的是零向量，那么这个结论不成立。也没有研究的意义啊

追问

是不是列向量包括(所有矩阵)的秩没有0必须至少为1啊？？

追答

你说对了，想一下秩的定义！！！非零子式的最高阶数就是我们所谓的秩。那一个数字是不是一个一阶子式？答案是显然的

追问

比如说数0的话，秩也是1。。

追答

你要看你这个0出现在哪里，如果单单是0，这个数，它的秩就是0.如果是（0 1）这样子的话。它的秩就是1，你要好好理解非零子式的最高阶数这个东西

追问

老师，我的意思是说一个数构成的行列式是不是也是1阶子式呢，那个数是0的话

追答

你的意思是，只有一个数a构成的行列式。。。那么：a=0的话，这个行列式的秩就是0，当a≠0，它的秩就等于1.一般情况下，a是不会等于0的。

追问

知道了。好的