Question

已知一元二次不等式ax^2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},求a,b的值

Answer 1

解决这个问题，必须清楚一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，这可是高一数学的重点和难点，务必熟练掌握和应用。

一般地，a>0时，结合一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像，我们有以下结论：

若Δ>0，一元二次方程ax^2+bx+c=0有两相异实根x1，x2，此时一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解为x<x1或x>x2；而一元二次不等式ax^2+bx+c<0的解为x1<x<x2。

若Δ=0，一元二次方程ax^2+bx+c=0有两相等实根x0=-b/2a，此时一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解为x≠x0；而一元二次不等式ax^2+bx+c<0的解集为Φ。

若Δ<0，一元二次方程ax^2+bx+c=0没有实根，此时一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解集为R；而一元二次不等式ax^2+bx+c<0的解集为Φ。

好，回到题目本身。

不等式ax^2+bx+1>0的解集是{x|-2<x<1},意味着a<0，且方程ax^2+bx+1的两根为x1=-2，x2=1。

根据韦达定理，有x1+x2=-b/a，x1x2=1/a，

因此，-2+1=-b/a，-2×1=1/a，

解得:a=-1/2，b=-1/2

故：所求a,b的值分别为-1/2和-1/2。

Answer 2

-2<x<1等价于 | a|（x+2）*（x-1）<0
|a|x^2+|a|x-2|a|<0
这个不等式和 ax^2+bx+1>0 为同解不等式
所以 a<0, -2a=1, b=a
所以 a=-1/2,b=-1/2