Question

请教一个关于不等式的问题

本题答案为16/3

Answer 1

解：设函数y=3x²/4-3x+4
则由题意当函数的值域为[a,b]时，定义域也是[a,b].
（1）当a≥2时，函数y在[a,b]上为增函数，
有f(a)=a且f(b)=b
解得a=4/3,b=4与a≤2不符，故舍去.
（2）当b≤2时，函数y在[a,b]上为减函数，
有f(a)=b且f(b)=a
解得a=b=4/3与a<b不符，故舍去.
（3）当a<2<b时，函数y的最小值必为1
∴a=1
①若f(a)=b，则f(1)=b，得b=7/4
与a<2<b矛盾，故舍去；
②若f(b)=b，则b=4（b=4/3舍去）
此时，1≤y≤4的解集为[1,4]
经检验，1≤y≤4的解集为[0,4]
所以，a,b不存在.
综上所解，a,b不存在.

是哪儿出问题了？请高手指教！多谢！

Answer 2

解：
a<=3/4x^2-3x+4<=b
4a<=x^2-12x+16<=4b……（1）
因为其解为：a<=x<=b,所以3a^2<=3x^2<=3b^2
-12b<=-12x<=-12a两式相加再加16得：
3a^2-12b+16<=3x^2-12x+16<=3b^2-12a+16
又由上（1）式可得：3a^2-12b+16=4a;3b^2-12a+16=4b
两式相减：
3(a+b)(a-b)+12(a-b)=4(a-b)；
所以a+b=-8/3

Answer 3

上面的解答是很巧，不过从答案可以看出a,b中至少一个负的，从而构造的不等式3a^2<=3x^2<=3b^2很可能不成立的。
由对称性该不等式的解集应该是一对对称的区间，而这里恰好为为[a,b]
只可能a=b,得到方程后且只有一个跟，这样的a,b 根本不存在，本题应该有问题。

Answer 4

a≤≤≥
不等式可化为
a≤3/4 *(x-2)^2+1≤b
所以 a≤1， 1≤b
3/4 x^2-3x+4≤b
3/4 x^2-3x+4-b≤0 (1)
因为 a≤x≤b
所以 3/4*(x-a)(x-b)≤0
3/4x^2-3/4(a+b)+3/4ab≤0 (2)

(1)式，(2)式同解
所以 -3/4（a+b）*x=-3x,3/4ab=4-b
a+b=4,3/4ab=4-b
解得 a=0,b=4. 符合题目要求
所以 a+b=4