Question

如何证明两个向量组等价？

Answer 1

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。

需要重点强调的是：等价的向量组秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是

R（A）=R（B）=R（A，B），

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵

扩展资料：

性质：

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

设有两个向量组

（Ⅰ）：α1，α2，……，αm；

（Ⅱ）：β1，β2，……，βm；

如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：，若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，则向量组（Ⅰ）={α1，α2}与向量组（Ⅱ）={β1，β2，β3}等价。事实上，给定的条件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，这表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）线性表示，由定义即知（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

参考资料：百度百科——等价向量组

Answer 2

证明它们可互相线性表示
或 r(A,B)=r(A)=r(B)

Answer 3

Answer 4

要证明两个向量组等价，需要验证它们是否满足以下条件之一：
1. 相互包含：如果两个向量组的每个向量都可以由另一个向量组的线性组合表示，那么它们是等价的。具体而言，设向量组A={a₁, a₂, ..., aₙ}和向量组B={b₁, b₂, ..., bₘ}，如果对于A中的每个向量aᵢ都存在一组标量k₁, k₂, ..., kₘ，使得aᵢ = k₁b₁ + k₂b₂ + ... + kₘbₘ，同时对于B中的每个向量bⱼ都存在一组标量h₁, h₂, ..., hₙ，使得bⱼ = h₁a₁ + h₂a₂ + ... + hₙaₙ，则向量组A和B等价。
2. 等比关系：如果两个向量组的每个向量都是另一个向量组中一个向量的倍数（或相反），那么它们是等价的。具体而言，设向量组A={a₁, a₂, ..., aₙ}和向量组B={b₁, b₂, ..., bₘ}，如果对于A中的每个向量aᵢ存在一个常数kᵢ，使得aᵢ = kᵢbⱼ，其中bⱼ是B中的某个向量，同时对于B中的每个向量bⱼ存在一个常数hⱼ，使得bⱼ = hⱼaᵢ，则向量组A和B等价。
要证明两个向量组等价，可以逐个验证上述条件。