Question

已知函数f(x)=alnx-x+x分之一,(1)判断函数fx的单调性

Answer 1

x>0,
f'(x)=a/x-1-1/x^2=(-x^2+ax-1)/x^2,
u=-x^2+ax-1,
△=a^2 -4，
①-2≤a≤2，△≤0, u≤0，f'(x)≤0，
f(x)在(0,+∞)上单减。
②a>2, △=a^2-4>0,
方程u=0两根
m=(a-√(a^2-4))/2,n=(a+√(a^2-4))/2
这时，0<m<n.
当m≤x≤n时,u≥0，f'(x)≥0，f(x)单增；
当0<x<m, 或x>n时,u<0，f'(x)<0，f(x)单减；
③a<-2, △>0,
这时，n < m<0.
当x>0时,u<0，f'(x)<0，f(x)单减。
综上所述，
当a≤2时，f(x)在(0,+∞)上单减；
当a>2时，f(x)在[m,n]上单增，在(0,m),(n,+∞)上单减。

Answer 2

f(x)=alnx-x+1/x
f'(x)=a/x-1-1/x²=(-x²+ax-1)/x²
|a|≥2且x>1或x<-1时，f‘(x)>0,f(x)单调递增；
|a|≥2且-1<x<1时，f‘(x)<0,f(x)单调递减；
a=0时，f'(x)=-1-1/x²<0,f(x)全域单调递减；
|a|<2时，f'(x)恒小于0,f(x)全域单调递减。

Answer 3

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