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已知abc为正实数1.求证a+b+c≤a^2+b^2/2c+b^2+c^2/2a+c^2+a^2/2b≤a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab2.求证ab(a+b)+b...
已知a b c为正实数
1.求证 a+b+c≤a^2+b^2/2c+b^2+c^2/2a+c^2+a^2/2b≤a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab
2.求证 ab(a+b)+bc(a+b)+ac(a+b)≥6abc
1.求证 a+b+c≤(a^2+b^2)/2c+(b^2+c^2)/2a+(c^2+a^2)/2b≤(a^2)/bc+(b^2)/ac+(c^2)/ab
2.求证 ab(a+b)+bc(a+b)+ac(a+b)≥6abc 展开
1.求证 a+b+c≤a^2+b^2/2c+b^2+c^2/2a+c^2+a^2/2b≤a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab
2.求证 ab(a+b)+bc(a+b)+ac(a+b)≥6abc
1.求证 a+b+c≤(a^2+b^2)/2c+(b^2+c^2)/2a+(c^2+a^2)/2b≤(a^2)/bc+(b^2)/ac+(c^2)/ab
2.求证 ab(a+b)+bc(a+b)+ac(a+b)≥6abc 展开
3个回答
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(一)现证左边的不等式:a+b+c≤[(a²+b²)/2c]+[(b²+c²)/2a]+[(c²+a²)/2b].(1)由基本不等式√[2(x²+y²)]≥x+y.可知,√[2(a²+b²)+√[2(b²+c²)]+√[2(c²+a²)]≥2(a+b+c).===>[√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)]²≥2(a+b+c)².(2)由柯西不等式可知,[(2c)+(2a)+(2b)]×{[(a²+b²)/2c)]+[(b²+c²)/2a]+[(c²+a²)/2b]}≥[√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)]²≥2(a+b+c)².===>[(a²+b²)/2c]+[(b²+c²)/2a]+[(c²+a²)/2b]≥a+b+c.【第一大题的右边不等式有问题啊。令a=b=c=m>0.则可得:3m≤3.当m>1时,明显不对。】(二)令a=1,b=2,c=3.则有33>36.矛盾。请LZ再看看题。
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第一题错误。。。将a=b=c=0.1代入,前半部分不满足,后面我没验证
第二题又是错题,将4,5,6代入不满足,如果是完全对称的式子的话你可以把一次项提出来然后两两配方用平均不等式得证
第二题又是错题,将4,5,6代入不满足,如果是完全对称的式子的话你可以把一次项提出来然后两两配方用平均不等式得证
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(1)
a^2+b^2/2c≥ab/c
b^2+c^2/2a≥bc/a
c^2+a^2/2b≥ac/b
a^2+b^2/2c+b^2+c^2/2a+c^2+a^2/2b≥ab/c+bc/a+ac/b
=1/2[(ab/c+bc/a)+(ac/b+ab/c)+(bc/a+ac/b)]
≥1/2(2b+2a+2c)=a+b+c
先交一部分
(2)题目 有问题 我改动了一下
ab(a+c)+bc(b+a)+ac(c+b)≥6abc
ab(a+c)+bc(b+a)+ac(c+b)=3abc+a^2b+b^2c+ac^2≥3abc+3立方根下(a^3b^3c^3)=3abc+3abc=6abc
a^2+b^2/2c≥ab/c
b^2+c^2/2a≥bc/a
c^2+a^2/2b≥ac/b
a^2+b^2/2c+b^2+c^2/2a+c^2+a^2/2b≥ab/c+bc/a+ac/b
=1/2[(ab/c+bc/a)+(ac/b+ab/c)+(bc/a+ac/b)]
≥1/2(2b+2a+2c)=a+b+c
先交一部分
(2)题目 有问题 我改动了一下
ab(a+c)+bc(b+a)+ac(c+b)≥6abc
ab(a+c)+bc(b+a)+ac(c+b)=3abc+a^2b+b^2c+ac^2≥3abc+3立方根下(a^3b^3c^3)=3abc+3abc=6abc
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