如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求此抛物线的解析式
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、D...
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．①求证：△AOC∽△DCB；②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设Q是抛物线上一点，连接QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．
展开
展开全部
（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
令y=0，即-x2+2x+3=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
∴点B的坐标是（3，0）；
（2）①证明：可求得顶点D（1，4）；OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°，
由勾股定理求得：CD=
，BC=3
．
∴
＝
|
解得：
|
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
令y=0，即-x2+2x+3=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
∴点B的坐标是（3，0）；
（2）①证明：可求得顶点D（1，4）；OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°，由勾股定理求得：CD=
| 2 |
| 2 |
∴
| CD |
| CB |
| |||
3
|
