Question

如图所示，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以O为圆心，OB为半径

如图所示，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以O为圆心，OB为半径作圆，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD。（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；（3）已知AC＝6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径。

Answer 1

（1）相切 （2）四边形BOCD是菱形 （3）∴底面圆半径

试题分析：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的判定方法和圆锥的计算．（1）根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC=30°，再由OB=OC得∠OCB=∠OBC=30°，所以∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到，AC是⊙O的切线； （2）连结OD，由CD∥AB得到∠AOC=∠OCD，根据三角形外角性质得∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，所以∠OCD=60°，于是可判断△OCD为等边三角形，则CD=OB=OC，先可判断四边形OBDC为平行四边形，加上OB=OC，于是可判断四边形BOCD为菱形；（3）在Rt△AOC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到 OC=     ∴弧BC的弧长=   然后根据圆锥的计算求圆锥的底面圆半径． 试题解析（1）AC与⊙O相切         ，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠A＝30°。 ，∠CBO＝∠BCO＝30°， ∴∠OCA＝120°－30°＝90°，∴AC⊥OC， 又∵OC是⊙O的半径， ∴AC与⊙O相切。               （2）四边形BOCD是菱形            连接OD。 ∵CD∥AB， ∴∠OCD＝∠AOC＝2×30°＝60° ， ∴△COD是等边三角形， ， ∴四边形BOCD是平行四边形， ∴四边形BOCD是菱形。            （3）在Rt△AOC中，∠A＝30°，AC＝6， ACtan∠A＝6tan30°＝ ， ∴弧BC的弧长       ∴底面圆半径