Question

已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的右焦点为F（1，0）

已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a= 2 b= 2 ， 故椭圆方程为 x 2 2 + y 2 =1 ．    　　　　                …（5分） （Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心， 设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ）， 因为M（0，1），F（1，0），所以k PQ =1．                     …（7分） 于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x 2 +4mx+2m 2 -2=0． 由△＞0，得m 2 ＜3，且x 1 +x 2 =- 4m 3 ，x 1 x 2 = 2 m 2 -2 3 ．    …（9分） 由题意应有 MP ? FQ =0 ，所以x 1 （x 2 -1）+y 2 （y 1 -1）=0， 所以2x 1 x 2 +（x 1 +x 2 ）（m-1）+m 2 -m=0． 整理得2× 2 m 2 -2 3 - 4m 3 （m-1）+m 2 -m=0． 解得m=- 4 3 或m=1．                               …（12分） 经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去． 当m=- 4 3 时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x- 4 3 ．…（13分）