Question

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x-1|+|x-4|≥5，等价于
，

x＜1 ?2x+5≥5

，或

1≤x≤4 3≥5

，或 

x＞4 2x?5≥5

．
解得：x≤0或 x≥5．
故不等式f（x）≥5的解集为 {x|x≤0，或 x≥5 }． …（5分）
（Ⅱ）因为f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|．（当x=1时等号成立）
所以：f（x）_min=|a-1|．…（8分）
由题意得：|a-1|≥4，解得  a≤-3，或a≥5． …（10分）