如图，在四边形ABCD中，CB=DC，∠BAD+∠BCD=180°，AC⊥BC，O是AB的中点．（1）如图1，求证：∠OCD=∠OBC
如图，在四边形ABCD中，CB=DC，∠BAD+∠BCD=180°，AC⊥BC，O是AB的中点．（1）如图1，求证：∠OCD=∠OBC．（2）如图2，E是AC上一点，连接...
如图，在四边形ABCD中，CB=DC，∠BAD+∠BCD=180°，AC⊥BC，O是AB的中点．（1）如图1，求证：∠OCD=∠OBC．（2）如图2，E是AC上一点，连接OE并延长交AD于点F，连接BD，分别交AC、OC于点M、N，若∠FOC=3∠CBD，DM=67BN，试探究线段OE和EF之间的数量关系，并证明你的结论．
展开
1个回答
展开全部
（1）证明：过点C作CT⊥AB于点T，CR⊥AD，交AD延长线于点R，
∴∠CRD=∠CTB=90°，
设∠BAC=α，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-α，
又∵O是AB的中点，
∴OC=OB=OA，
∴∠OCA=α，∠OCB=90°-α，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDR=180°，
∴∠CDR=∠B=90°-α，
∵CB=DC，
在△CRD和△CTB中，
，
∴△CRD≌△CTB（AAS），
∴CR=CT，
∴∠CAR=∠CAB=α，
∴∠CAR=∠ACO=α，
∴AD∥OC，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∵∠OBC+∠ADC=180°，
∴∠OCD=∠OBC；
（2）线段OE与EF之间的数量关系是：
＝
，
连接OD交AC于点H，过点D作DL∥AB交AC延长线于点L，
∴∠L=∠LAB=∠DAL，∠LDB=∠DBA，
∴DL=DA，△MDL∽△MBA，
∴
＝
＝
，
∵∠BAD=2α，
∴∠BCD=180°-2α，
∵CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=α，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=∠OCD，
∴OC⊥BD，BN=DN，
∴OD=OB=OC=OA，
∴∠ODA=∠OAD=2α，
由（1）AD∥OC，
∴∠DOC=∠ODA=2α，∠BOC=∠OAD=2α，
∵∠FOC=3∠CBD=3α，∠FOD=α，
∴∠FOD=∠HCO=α，
在△OFD和△CHO中，
，
∴△OFD≌△CHO（AAS），
∴FD=OH，
设BN=7k，
∵DM=
BN，
∴DM=6k，MN=k，
∴BM=8k，
∴
＝
＝
＝
＝
，
∴
＝
，
∵∠DAC=∠OCA，∠AHD=∠CHO，
∴△HAD∽△HCO，
∴
∴∠CRD=∠CTB=90°，
设∠BAC=α，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-α，
又∵O是AB的中点，
∴OC=OB=OA，
∴∠OCA=α，∠OCB=90°-α，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDR=180°，
∴∠CDR=∠B=90°-α，
∵CB=DC，
在△CRD和△CTB中，
|
∴△CRD≌△CTB（AAS），
∴CR=CT，
∴∠CAR=∠CAB=α，
∴∠CAR=∠ACO=α，
∴AD∥OC，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∵∠OBC+∠ADC=180°，
∴∠OCD=∠OBC；
（2）线段OE与EF之间的数量关系是：
| EF |
| EO |
| 11 |
| 10 |
连接OD交AC于点H，过点D作DL∥AB交AC延长线于点L，
∴∠L=∠LAB=∠DAL，∠LDB=∠DBA，
∴DL=DA，△MDL∽△MBA，
∴
| MD |
| MB |
| LD |
| AB |
| AD |
| AB |
∵∠BAD=2α，
∴∠BCD=180°-2α，
∵CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=α，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=∠OCD，
∴OC⊥BD，BN=DN，
∴OD=OB=OC=OA，
∴∠ODA=∠OAD=2α，
由（1）AD∥OC，
∴∠DOC=∠ODA=2α，∠BOC=∠OAD=2α，
∵∠FOC=3∠CBD=3α，∠FOD=α，
∴∠FOD=∠HCO=α，
在△OFD和△CHO中，
|
∴△OFD≌△CHO（AAS），
∴FD=OH，
设BN=7k，
∵DM=
| 6 |
| 7 |
∴DM=6k，MN=k，
∴BM=8k，
∴
| MD |
| MB |
| AD |
| AB |
| AD |
| 2OC |
| 6k |
| 8k |
| 3 |
| 4 |
∴
| AD |
| OC |
| 3 |
| 2 |
∵∠DAC=∠OCA，∠AHD=∠CHO，
∴△HAD∽△HCO，
∴
