Question

如图E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．（2

如图E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．（2）若AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH为菱形，试证明你的结论．（3）求证：AC∥平面EFGH．

Answer 1

（1）证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且FG=

1

2

BD，
同理，FG∥BD，且FG=

1

2

BD，
因为EH∥FG，且EH=FG，
所以，四边形EFGH为平行四边形．
（2）解：AC=BD时，四边形EFGH为菱形．
证明：由（1）知四边形EFGH为平行四边形，且FG=

1

2

BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=

1

2

AC，∵AC=BD，∴EF=FG，
∴四边形EFGH为菱形．
（3）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
∵AC不色含于平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AC∥平面EFGH．