如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE=AD=4，求△ABC三边之长
如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE=AD=4，求△ABC三边之长．...
如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE=AD=4，求△ABC三边之长．
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如图，设AD、BE相交于点G，取CE的中点F，连接DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥BE，DF=
BE=
×4=2，
∵BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD，
∴AG=GD=
AD=
×4=2，
∴GE是△ADF的中位线，
∴GE=
DF=
×2=1，
∵BE=4，
∴BG=BE-GE=4-1=3，
在Rt△ABE中，AB=
=
=
，
∵BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD，
∴BE垂直平分AD，
∴BD=AB=
，
∵AD是△ABC的中线，
BC=2BD=2
，
在Rt△AEG中，AE=
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥BE，DF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD，
∴AG=GD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴GE是△ADF的中位线，
∴GE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵BE=4，
∴BG=BE-GE=4-1=3，
在Rt△ABE中，AB=
| AG2+BG2 |
| 22+32 |
| 13 |
∵BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD，
∴BE垂直平分AD，
∴BD=AB=
| 13 |
∵AD是△ABC的中线，
BC=2BD=2
| 13 |
在Rt△AEG中，AE=
AG
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不用梅涅劳斯定理也可做，方法： 过三角形BEC任意一个顶点作对边的平行线交截线（直线）AFE于G，用平行线比例线段即可得第一步结果，这样就不超纲。 这个一般方法，课内肯定不讲，不在大纲范围，大多数老师也没有这个能力。 不过我想，这个数学（几何）方法应该在师范教育纳入课程，以提高国人数学素质，而不是死背那个梅氏定理。
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