Question

已知ABCD是正方形，M是CD的中点，点E在CM上，∠BAE=2∠DAM，求证：AE=AB+CE

已知ABCD是正方形，M是CD的中点，点E在CM上，∠BAE=2∠DAM，求证：AE=AB+CE．

Answer 1

证明：取BC的中点F，连接AF，过点F作FH⊥AE于H，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠D=∠C=90°，
∵M是CD的中点，
∴BF=DM，
在△ABF和△ADM中，

AB＝AD ∠B＝∠D BF＝DM

，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴∠BAF=∠DAM，
∵∠BAE=2∠DAM，
∴∠BAF=∠HAF，
∵∠AHF=∠B=90°，
∴∠AFB=∠AFH，BF=FH，
∴AB=AH，
∴FH=FC，
∵∠FHE=∠C=90°，
在Rt△CFE和Rt△HFE中，

FH＝FC FE＝FE

，
∴Rt△CFE≌Rt△HFE（HL），
∴EH=CE，
∴AE=AH+HE=AB+CE．