Question

已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析

已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）是R上的奇函数，有f（-x）=-f（x），（1分）
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d，所以d=0．
因此f（x）=ax³+cx．（2分）
对函数f（x）求导数，得f'（x）=3ax²+c．（3分）
由题意得f（1）=-2，f'（1）=0，（4分）
所以

a+c＝?2 3a+c＝0.

（5分）
解得a=1，c=-3，
因此f（x）=x³-3x．（6分）

（Ⅱ）f'（x）=3x²-3．（7分）
令3x²-3＞0，解得x＜-1或x＞1，
因此，当x∈（-∞，-1）时，f（x）是增函数；当x∈（1，+∞）时，f（x）也是增函数．（8分）
再令3x²-3＜0，解得-1＜x＜1．
因此，当x∈（-1，1）时，f（x）是减函数．（9分）

（Ⅲ）令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=1．
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表．

从上表可知，f（x）在区间[-3，3]上的最大值是18，最小值是-18．（13分）