X＋y＝50，6x＋4y＝230 要过程
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最近一直没有时间更新知识点，今天抽了点空，继续往下写点东西
下面是之前更新的内容，请自取
10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）
10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用）
10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）
10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）
10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）
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正式进入定积分前，先简单说下什么是定积分吧：定积分就是函数 与
，
及 轴所围成的区域对应的曲面面积，若曲面面积位于 轴下方，则对应的积分值为负
基于以上的描述，下方具体开始讲解
一、定积分的定义
上述介绍了定积分表示的几何意义，下面利用极限的形式看下定积分的定义：
设 在 上有界
①设 ，则 ，其中
②取 ，则“面积”为
③取 ，若 存在，则称 在上可积分，记为 ，即
注：有的同学会发现一个问题，为何要多引入一个 值，令 时不就可以了么
下面简单看个图像
如果仅仅是，那在区间内进行分段时，完全可以在 段上进行 的划分，然后把最后一段 留给 区段上，这种情况下 该段的条形面积 的值就不会等于曲线与数轴之间围成的面积了，所以如果仅仅是的条件，累计的值并不等于积分值
注：
（1）极限 \lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}} 是否存在，与区间的分法和 \xi 的取值无关（ \xi 一般取区间的左右端点）
（2）函数 f(x) 在 [a,b] 上有界是函数可积的必要条件，而非充分条件
（3）利用定积分可以求解极限题目，之前在讲解极限以及每日一题的时候有提到过相关的原理和操作，下面有链接，此处不再重复：
10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）
大学数学每日一题——微积分1208
二、定积分的性质
1、 \int_{a}^{a}f(x)dx=0 ，\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx
2、若 f(x) 可积，\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx
3、若 f(x) 可积且f(x)\geq0，则 \int_{a}^{b}f(x)dx\geq0 ；若 f(x) 不恒等于 0 时， \int_{a}^{b}f(x)dx>0
4、若 f(x),g(x) 可积>f(x)\geq g(x)， \int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{a}^{b}g(x)dx ，若 f(x) 不恒等于 g(x) 时， \int_{a}^{b}f(x)dx>\int_{a}^{b}g(x)dx
5、若 f(x) 可积，则 \left| \int_{a}^{b}f(x)dx \right|\leq \int_{a}^{b}\left| f(x) \right|dx
6、设f(x) 可积，且 m\leq f(x)\leq M ，则 m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq (b-a)M
7、积分中值定理
设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则存在 \xi\in[a,b] 使得 \int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)
注：积分中值定理是针对闭区间的定理，当然也有针对开区间的中值定理，下面进行证明
例题：
设 f(x) 在 [a,b] 上连续，求证存在 \xi\in(a,b) 使得 \int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)
解答：
设 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt ， F'(x)=f(x) ，根据拉格朗日中值定理可知：
存在 \xi\in(a,b)，使得 \frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi) ，即：
\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{a}f(x)dx}{b-a}=f(\xi) ，即
\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)
大家在进行解题的时候应该注意题目要求的是证明开区间还是闭区间内的中值定理
8、柯西不等式
f(x),g(x) 在 [a,b] 上连续，则
(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2}\leq\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx
以上8个性质在证明题中均可以直接使用
三、定积分求解方法
定积分的求解中涉及方法较多，最常见的是牛顿莱布尼兹公式，通过求出原函数来进行求解，除了牛顿，定积分的求解还涉及到很多不需要求解出原函数，而是通过定积分的特殊性质即可求解的情况，下列具体讲解：
1、牛顿--莱布尼兹公式
设 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则
\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)
牛顿莱布尼兹公式是求解定积分最基本的方法，其基础是不定积分，忘记的同学请自取：
10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）
例题：
求解 \int_{0}^{1}xe^xdx
解答：
\int_{0}^{1}xe^xdx =\int_{0}^{1}xde^x =[xe^{x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx =e-[e^x]_{0}^{1} =1
2、定积分的特殊性质
（1）对称区间上函数的定积分性质
设函数 f(x) 在 [-a,a] 上连续，则 \int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx
特别的，当 f(x) 为奇函数时， \int_{-a}^{a}f(x)dx=0 ；
当 f(x) 为偶函数时， \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx
例题：
求解 \int_{-1}^{1}\frac{x}{1+sin^2x}dx
解答：
设被积函数 f(x)=\frac{x}{1+sin^2x} ，f(-x)=\frac{-x}{1+sin^2x} =-f(x) ，由关系式可知，被积函数为奇函数，故该积分为0
例题：
求解 \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{sin^2x}{1+e^x}dx
解答：
该积分为对称区间上的积分，所以可以直接用公式：
\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx \int_{0}^{\pi/2}\frac{sin^2x}{1+e^x}+\frac{sin^2x}{1+e^{-x}}dx \int_{0}^{\pi/2}sin^2xdx =\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4}
上述题目两道题目如果用牛顿莱布尼兹公式求解的话着实很难求出原函数，且耗费时间较多，没有必要
（2）三角函数定积分性质
设 f(x) 在 [0,1] 上连续，则
a、 \int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(cosx)dx
b、\int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx =\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3} （ n 为奇数）
c、\int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} （ n 为偶数）
d、\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx=2\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx
e、\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx =\pi\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx
以上几个式子的证明过程不在此处进行详说，基本上都是用到二类换元法和分布积分法进行求解的，有兴趣的小伙伴可以自己尝试求解下
（3）定积分的特殊性质
设 f(x) 是以 T 为周期的可积分函数，则
a、 \int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx
b、\int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx
（4）特殊函数积分
这里重点说一个大部分人经常遇到的一个积分，即 \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx
初学者遇到该问题时往往会想把原函数给求解出来，但是实际上这个函数是无法求解出原函数的（或者说在高等数学的范畴中是不要求求解出原函数的）
没有原函数是不是代表该题目无法解答呢，实际上不是的，该积分题目其实求解的方法还是蛮多样的，接下来介绍两种方法，涉及到二重积分和概率论的解答思路
a、利用二重积分进行解答：
I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy
I^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{+\infty}re^{-r^2}dr =\pi
I=\sqrt{\pi}
b、利用概率论中标准正态分布解法进行解答：
标准正态分布概率密度函数如下：
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}} ， 根据概率密度函数的在正负无穷上积分等于1的性质可得
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1
令 x=\sqrt{2}t ，原式变为 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2}dt =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^2}dt=1
=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}
四、变限积分求导法则
设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 (\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt)'=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)
特别的档 \varphi(x)=x,\psi(x)=0 时， (\int_{a}^{x}f(t)dt)'=f(x)
例题1：
设 f(x) 在 [a,b] 上连续， F(x)=\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt ，求解 F'(x)
解答：
F(x)=x\int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{x}tf(t)dt F'(x)=xf(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt-xf(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt
例题2：
设 f(x) 在 [a,b] 上连续， F(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)dt ，求解 F'(x)
解析：
题设中的被积函数含有 x,t ，有的同学拿到后会直接利用公式进行求导，即
F'(x)=f(0) （常数）
但是细想觉得求导后应该为一个函数表达式，不应该为一个常数
的确，上述的求法是错误的，正确的解答方法应该将被积函数的 x,t进行分离，分离开后再进行导数计算
解答：
x-t=k ，当 t=x 时， k=0 ；当 t=0 时， k=x ； dt=-dk
F(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)dt=-\int_{x}^{0}f(k)dk =\int_{0}^{x}f(k)dk
F'(x)=f(x)
例题3：
设 f(x)=\int_{1}^{x}e^{t^2}dt ，求 \int_{0}^{1}x^2f(x)dx
解答：
\int_{0}^{1}x^2f(x)dx =\int_{0}^{1}f(x)d(\frac{1}{3}x^3) =\frac{1}{3}x^3f(x)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3f'(x)dx =-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3f'(x)dx =-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3e^{x^2}dx =-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}x^2e^{x^2}dx^2 =-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}xe^{x}dx =-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}xde^{x} =-\frac{1}{6}xe^x|_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{1}{6}e^xdx =-\frac{1}{6}
五、广义积分
广义积分是相对于正常积分所提出来的一个积分概念，即对于积分上下限为无穷大，或是积分限内含有第二类间断点的积分
1、积分区域无穷大的广义积分
\int_{a}^{+\infty}f(x)dx,\int_{-\infty}^{0}f(x)dx,\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx
以上三个积分均为积分区域无穷大的广义积分，当该积分的极限存在时，则说明该广义积分收敛，否则称其为发散
敛散性判别法：
设 \lim_{x \rightarrow \infty}{x^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当 k>1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\leq1 时极限成立，该广义积分发散
例题：
求解 \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx
解答：
设 \lim_{x \rightarrow \infty}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow \infty}{x^k\frac{1}{x}}=M ，为使该极限成立，可推出 k 的取值为 k\leq1 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分
2、积分区间上存在无穷断点的广义积分
\int_{a}^{b}f(x)dx
函数 f(x) 在 x=a 的左邻域或 x=b 的右邻域或 x=a，x=b 的左右邻域内无界，则该积分称之为广义积分，当该积分的极限存在时，则说明该广义积分收敛，否则称其为发散
敛散性判别法：
（1）设 f(x) 在x=a 的左邻域无界，且\lim_{x \rightarrow a^+}{(x-a)^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当 k<1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\geq1 时极限成立，该广义积分发散
（2）设 f(x) 在x=b 的右邻域无界，且\lim_{x \rightarrow b^-}{(b-x)^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当 k<1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\geq1 时极限成立，该广义积分发散
例题：
求解 \int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx
解答：
被积函数在 x=0 处为无界函数，所以设极限 \lim_{x \rightarrow 0}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow 0}{x^k\frac{1}{x}}=M ，为使该极限成立，可推出 k 的取值为 k\geq1 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分
3、积分区间内部存在无穷间断点
\int_{a}^{b}f(x)dx
被积函数在 x=c(a<c<b) 的去心邻域内无界，则 \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx ，此处必须将 c 点进行分离考虑，当两个式子的积分极限都存在时方能判断整个式子的极限存在
例题：
求解 \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx
错误解法：
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}|_{-1}^{1}=-2 ，该做法错误的地方是未考虑到 x=0 为函数的无穷断点，直接跳过了断点进行积分
正确做法：
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx，将分离后的两个积分进行单独考虑
\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}dx 在 x=0 处是无界的，所以考虑 \lim_{x \rightarrow 0}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow 0}{x^k\frac{1}{x^2}}=M ,为使该极限成立，可推出 k 的取值为 k\geq2 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分
同理可知 \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx 也是发散积分，所以判断该积分为发散积分
六、定积分的应用
1、面积
（1）设 D 由 y=f(x)\geq0 ， x=a 及 x=b （b>a） 围成，则 D 的面积为 S=\int_{a}^{b}f(x)dx
（2）设 D 由 y=f(x) ， y=g(x) ， x=a 及 x=b（b>a） 围成，则 D 的面积为 S=\int_{a}^{b}\left| f(x)-g(x) \right|dx
（3）极坐标法的面积 D 求解公式为 S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta ；当曲线由 r=r_{1}(\theta), r=r_{2}(\theta) 组成，则面积 S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[r_{2}^{2}(\theta)-r_{1}^{2}(\theta)]d\theta
（4）旋转曲面的面积
函数 f(x) 绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体侧面的面为 S=2\pi\int_{a}^{b}\left| f(x) \right|\sqrt{1+f'^2(x)}dx
备注：
以上均是利用 y=f(x) 的函数进行面积求解，有的题目未直接给出 y=f(x) 的关系式，而是给出了参数方程的形式（ x=\varphi(t),y=\psi(t) ），可以直接将上述式子中的 f(x),x,dx 等函数进行替换即可
2、体积
（1）y=f(x)绕 x 轴旋转后的体积： V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx
（2）y=f(x)绕 y 轴旋转后的体积： V=2\pi\int_{a}^{b}\left| x \right|\left| f(x) \right|dx
3、长度
（1）设 L:y=f(x)(a\leq x\leq b) ，则曲线长度为 l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'^2(x)}dx
（2）设 L:x=\varphi(t),y=\psi(t)(\alpha\leq t \leq\beta) ，则曲线长度为 l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt
（3）设 L:r=r(\theta)(\alpha\leq x\leq \beta) ，则曲线长度为 l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta
例题1：
求由曲线 y=4-x^2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积
解答：
利用微元法进行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，则 dv=2\pi(3-x)(4-x^2)dx ，则 V=\int_{-2}^{2}2\pi(3-x)(4-x^2)dx =64\pi
例题2：
求由曲线 y=4-x^2 与 x 轴围成的部分绕直线 y=-3 旋转一周所成的几何体的体积
解答：
利用微元法进行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，则 dv=[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx ，则 V=\int_{-2}^{2}[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx =\int_{-2}^{2}[\pi(7-x)^2-\pi(-3)^2]dx =\int_{-2}^{2}40\pi+\pi x^2dx =2\int_{0}^{2}40\pi+\pi x^2dx=\frac{496}{3}\pi
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正式进入定积分前，先简单说下什么是定积分吧：定积分就是函数 与
，
及 轴所围成的区域对应的曲面面积，若曲面面积位于 轴下方，则对应的积分值为负
基于以上的描述，下方具体开始讲解
一、定积分的定义
上述介绍了定积分表示的几何意义，下面利用极限的形式看下定积分的定义：
设 在 上有界
①设 ，则 ，其中
②取 ，则“面积”为
③取 ，若 存在，则称 在上可积分，记为 ，即
注：有的同学会发现一个问题，为何要多引入一个 值，令 时不就可以了么
下面简单看个图像
如果仅仅是，那在区间内进行分段时，完全可以在 段上进行 的划分，然后把最后一段 留给 区段上，这种情况下 该段的条形面积 的值就不会等于曲线与数轴之间围成的面积了，所以如果仅仅是的条件，累计的值并不等于积分值
注：
（1）极限 \lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}} 是否存在，与区间的分法和 \xi 的取值无关（ \xi 一般取区间的左右端点）
（2）函数 f(x) 在 [a,b] 上有界是函数可积的必要条件，而非充分条件
（3）利用定积分可以求解极限题目，之前在讲解极限以及每日一题的时候有提到过相关的原理和操作，下面有链接，此处不再重复：
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二、定积分的性质
1、 \int_{a}^{a}f(x)dx=0 ，\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx
2、若 f(x) 可积，\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx
3、若 f(x) 可积且f(x)\geq0，则 \int_{a}^{b}f(x)dx\geq0 ；若 f(x) 不恒等于 0 时， \int_{a}^{b}f(x)dx>0
4、若 f(x),g(x) 可积>f(x)\geq g(x)， \int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{a}^{b}g(x)dx ，若 f(x) 不恒等于 g(x) 时， \int_{a}^{b}f(x)dx>\int_{a}^{b}g(x)dx
5、若 f(x) 可积，则 \left| \int_{a}^{b}f(x)dx \right|\leq \int_{a}^{b}\left| f(x) \right|dx
6、设f(x) 可积，且 m\leq f(x)\leq M ，则 m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq (b-a)M
7、积分中值定理
设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则存在 \xi\in[a,b] 使得 \int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)
注：积分中值定理是针对闭区间的定理，当然也有针对开区间的中值定理，下面进行证明
例题：
设 f(x) 在 [a,b] 上连续，求证存在 \xi\in(a,b) 使得 \int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)
解答：
设 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt ， F'(x)=f(x) ，根据拉格朗日中值定理可知：
存在 \xi\in(a,b)，使得 \frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi) ，即：
\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{a}f(x)dx}{b-a}=f(\xi) ，即
\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)
大家在进行解题的时候应该注意题目要求的是证明开区间还是闭区间内的中值定理
8、柯西不等式
f(x),g(x) 在 [a,b] 上连续，则
(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2}\leq\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx
以上8个性质在证明题中均可以直接使用
三、定积分求解方法
定积分的求解中涉及方法较多，最常见的是牛顿莱布尼兹公式，通过求出原函数来进行求解，除了牛顿，定积分的求解还涉及到很多不需要求解出原函数，而是通过定积分的特殊性质即可求解的情况，下列具体讲解：
1、牛顿--莱布尼兹公式
设 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则
\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)
牛顿莱布尼兹公式是求解定积分最基本的方法，其基础是不定积分，忘记的同学请自取：
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例题：
求解 \int_{0}^{1}xe^xdx
解答：
\int_{0}^{1}xe^xdx =\int_{0}^{1}xde^x =[xe^{x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx =e-[e^x]_{0}^{1} =1
2、定积分的特殊性质
（1）对称区间上函数的定积分性质
设函数 f(x) 在 [-a,a] 上连续，则 \int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx
特别的，当 f(x) 为奇函数时， \int_{-a}^{a}f(x)dx=0 ；
当 f(x) 为偶函数时， \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx
例题：
求解 \int_{-1}^{1}\frac{x}{1+sin^2x}dx
解答：
设被积函数 f(x)=\frac{x}{1+sin^2x} ，f(-x)=\frac{-x}{1+sin^2x} =-f(x) ，由关系式可知，被积函数为奇函数，故该积分为0
例题：
求解 \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{sin^2x}{1+e^x}dx
解答：
该积分为对称区间上的积分，所以可以直接用公式：
\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx \int_{0}^{\pi/2}\frac{sin^2x}{1+e^x}+\frac{sin^2x}{1+e^{-x}}dx \int_{0}^{\pi/2}sin^2xdx =\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4}
上述题目两道题目如果用牛顿莱布尼兹公式求解的话着实很难求出原函数，且耗费时间较多，没有必要
（2）三角函数定积分性质
设 f(x) 在 [0,1] 上连续，则
a、 \int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(cosx)dx
b、\int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx =\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3} （ n 为奇数）
c、\int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} （ n 为偶数）
d、\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx=2\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx
e、\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx =\pi\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx
以上几个式子的证明过程不在此处进行详说，基本上都是用到二类换元法和分布积分法进行求解的，有兴趣的小伙伴可以自己尝试求解下
（3）定积分的特殊性质
设 f(x) 是以 T 为周期的可积分函数，则
a、 \int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx
b、\int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx
（4）特殊函数积分
这里重点说一个大部分人经常遇到的一个积分，即 \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx
初学者遇到该问题时往往会想把原函数给求解出来，但是实际上这个函数是无法求解出原函数的（或者说在高等数学的范畴中是不要求求解出原函数的）
没有原函数是不是代表该题目无法解答呢，实际上不是的，该积分题目其实求解的方法还是蛮多样的，接下来介绍两种方法，涉及到二重积分和概率论的解答思路
a、利用二重积分进行解答：
I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy
I^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{+\infty}re^{-r^2}dr =\pi
I=\sqrt{\pi}
b、利用概率论中标准正态分布解法进行解答：
标准正态分布概率密度函数如下：
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}} ， 根据概率密度函数的在正负无穷上积分等于1的性质可得
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1
令 x=\sqrt{2}t ，原式变为 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2}dt =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^2}dt=1
=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}
四、变限积分求导法则
设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 (\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt)'=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)
特别的档 \varphi(x)=x,\psi(x)=0 时， (\int_{a}^{x}f(t)dt)'=f(x)
例题1：
设 f(x) 在 [a,b] 上连续， F(x)=\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt ，求解 F'(x)
解答：
F(x)=x\int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{x}tf(t)dt F'(x)=xf(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt-xf(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt
例题2：
设 f(x) 在 [a,b] 上连续， F(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)dt ，求解 F'(x)
解析：
题设中的被积函数含有 x,t ，有的同学拿到后会直接利用公式进行求导，即
F'(x)=f(0) （常数）
但是细想觉得求导后应该为一个函数表达式，不应该为一个常数
的确，上述的求法是错误的，正确的解答方法应该将被积函数的 x,t进行分离，分离开后再进行导数计算
解答：
x-t=k ，当 t=x 时， k=0 ；当 t=0 时， k=x ； dt=-dk
F(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)dt=-\int_{x}^{0}f(k)dk =\int_{0}^{x}f(k)dk
F'(x)=f(x)
例题3：
设 f(x)=\int_{1}^{x}e^{t^2}dt ，求 \int_{0}^{1}x^2f(x)dx
解答：
\int_{0}^{1}x^2f(x)dx =\int_{0}^{1}f(x)d(\frac{1}{3}x^3) =\frac{1}{3}x^3f(x)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3f'(x)dx =-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3f'(x)dx =-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3e^{x^2}dx =-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}x^2e^{x^2}dx^2 =-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}xe^{x}dx =-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}xde^{x} =-\frac{1}{6}xe^x|_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{1}{6}e^xdx =-\frac{1}{6}
五、广义积分
广义积分是相对于正常积分所提出来的一个积分概念，即对于积分上下限为无穷大，或是积分限内含有第二类间断点的积分
1、积分区域无穷大的广义积分
\int_{a}^{+\infty}f(x)dx,\int_{-\infty}^{0}f(x)dx,\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx
以上三个积分均为积分区域无穷大的广义积分，当该积分的极限存在时，则说明该广义积分收敛，否则称其为发散
敛散性判别法：
设 \lim_{x \rightarrow \infty}{x^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当 k>1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\leq1 时极限成立，该广义积分发散
例题：
求解 \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx
解答：
设 \lim_{x \rightarrow \infty}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow \infty}{x^k\frac{1}{x}}=M ，为使该极限成立，可推出 k 的取值为 k\leq1 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分
2、积分区间上存在无穷断点的广义积分
\int_{a}^{b}f(x)dx
函数 f(x) 在 x=a 的左邻域或 x=b 的右邻域或 x=a，x=b 的左右邻域内无界，则该积分称之为广义积分，当该积分的极限存在时，则说明该广义积分收敛，否则称其为发散
敛散性判别法：
（1）设 f(x) 在x=a 的左邻域无界，且\lim_{x \rightarrow a^+}{(x-a)^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当 k<1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\geq1 时极限成立，该广义积分发散
（2）设 f(x) 在x=b 的右邻域无界，且\lim_{x \rightarrow b^-}{(b-x)^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当 k<1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\geq1 时极限成立，该广义积分发散
例题：
求解 \int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx
解答：
被积函数在 x=0 处为无界函数，所以设极限 \lim_{x \rightarrow 0}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow 0}{x^k\frac{1}{x}}=M ，为使该极限成立，可推出 k 的取值为 k\geq1 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分
3、积分区间内部存在无穷间断点
\int_{a}^{b}f(x)dx
被积函数在 x=c(a<c<b) 的去心邻域内无界，则 \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx ，此处必须将 c 点进行分离考虑，当两个式子的积分极限都存在时方能判断整个式子的极限存在
例题：
求解 \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx
错误解法：
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}|_{-1}^{1}=-2 ，该做法错误的地方是未考虑到 x=0 为函数的无穷断点，直接跳过了断点进行积分
正确做法：
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx，将分离后的两个积分进行单独考虑
\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}dx 在 x=0 处是无界的，所以考虑 \lim_{x \rightarrow 0}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow 0}{x^k\frac{1}{x^2}}=M ,为使该极限成立，可推出 k 的取值为 k\geq2 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分
同理可知 \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx 也是发散积分，所以判断该积分为发散积分
六、定积分的应用
1、面积
（1）设 D 由 y=f(x)\geq0 ， x=a 及 x=b （b>a） 围成，则 D 的面积为 S=\int_{a}^{b}f(x)dx
（2）设 D 由 y=f(x) ， y=g(x) ， x=a 及 x=b（b>a） 围成，则 D 的面积为 S=\int_{a}^{b}\left| f(x)-g(x) \right|dx
（3）极坐标法的面积 D 求解公式为 S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta ；当曲线由 r=r_{1}(\theta), r=r_{2}(\theta) 组成，则面积 S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[r_{2}^{2}(\theta)-r_{1}^{2}(\theta)]d\theta
（4）旋转曲面的面积
函数 f(x) 绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体侧面的面为 S=2\pi\int_{a}^{b}\left| f(x) \right|\sqrt{1+f'^2(x)}dx
备注：
以上均是利用 y=f(x) 的函数进行面积求解，有的题目未直接给出 y=f(x) 的关系式，而是给出了参数方程的形式（ x=\varphi(t),y=\psi(t) ），可以直接将上述式子中的 f(x),x,dx 等函数进行替换即可
2、体积
（1）y=f(x)绕 x 轴旋转后的体积： V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx
（2）y=f(x)绕 y 轴旋转后的体积： V=2\pi\int_{a}^{b}\left| x \right|\left| f(x) \right|dx
3、长度
（1）设 L:y=f(x)(a\leq x\leq b) ，则曲线长度为 l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'^2(x)}dx
（2）设 L:x=\varphi(t),y=\psi(t)(\alpha\leq t \leq\beta) ，则曲线长度为 l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt
（3）设 L:r=r(\theta)(\alpha\leq x\leq \beta) ，则曲线长度为 l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta
例题1：
求由曲线 y=4-x^2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积
解答：
利用微元法进行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，则 dv=2\pi(3-x)(4-x^2)dx ，则 V=\int_{-2}^{2}2\pi(3-x)(4-x^2)dx =64\pi
例题2：
求由曲线 y=4-x^2 与 x 轴围成的部分绕直线 y=-3 旋转一周所成的几何体的体积
解答：
利用微元法进行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，则 dv=[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx ，则 V=\int_{-2}^{2}[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx =\int_{-2}^{2}[\pi(7-x)^2-\pi(-3)^2]dx =\int_{-2}^{2}40\pi+\pi x^2dx =2\int_{0}^{2}40\pi+\pi x^2dx=\frac{496}{3}\pi
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X＋y＝50 ------>x=50-y
6x＋4y＝230
6(50-y)+4y=230
300-6y+4y=230
2y=70
y=35
x=50-y=15
6x＋4y＝230
6(50-y)+4y=230
300-6y+4y=230
2y=70
y=35
x=50-y=15
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